Номер 1534, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1534, страница 424.

Условие.

1534 Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Исследование функции и построение графика

Проведем исследование функции $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ с помощью производной.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

• С осью Oy (при $x=0$):
  $y(0) = 0^3 - 5 \cdot 0^2 - 0 + 5 = 5$.
  Точка пересечения — $(0; 5)$.
• С осью Ox (при $y=0$):
  $x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$
  Группируем слагаемые: $x^2(x-5) - 1(x-5) = 0$
  $(x^2-1)(x-5) = 0$
  $(x-1)(x+1)(x-5) = 0$
  Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.
  Точки пересечения — $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(5; 0)$.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума

Находим первую производную функции:

$y' = (x^3 - 5x^2 - x + 5)' = 3x^2 - 10x - 1$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.

$3x^2 - 10x - 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

Критические точки: $x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0.1$ и $x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3.43$.

Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:

• При $x \in (-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3})$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3})$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x_{max} = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} \approx y(-0.1) \approx 5.05$.

В точке $x_{min} = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} \approx y(3.43) \approx -16.9$.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Находим вторую производную функции:

$y'' = (3x^2 - 10x - 1)' = 6x - 10$.

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю: $6x - 10 = 0 \implies x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Определяем знаки второй производной на интервалах:

• При $x < 5/3$, $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x > 5/3$, $y'' > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x = 5/3$ является точкой перегиба. Найдем ординату этой точки:

$y(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - 5(\frac{5}{3})^2 - \frac{5}{3} + 5 = \frac{125}{27} - \frac{125}{9} - \frac{5}{3} + 5 = \frac{125 - 375 - 45 + 135}{27} = -\frac{160}{27} \approx -5.93$.

Точка перегиба: $(\frac{5}{3}; -\frac{160}{27})$.

5. Построение графика

Для построения графика наносим на координатную плоскость найденные точки: пересечения с осями $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(5; 0)$, $(0; 5)$; точку локального максимума $(\approx -0.1; \approx 5.05)$; точку локального минимума $(\approx 3.43; \approx -16.9)$; точку перегиба $(\approx 1.67; \approx -5.93)$. Соединяем точки плавной линией, учитывая интервалы монотонности и выпуклости.

Ответ: Функция исследована. Интервалы возрастания: $(-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty)$. Интервал убывания: $(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3})$. Точка локального максимума: $(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \approx 5.05)$. Точка локального минимума: $(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; \approx -16.9)$. Точка перегиба: $(\frac{5}{3}; -\frac{160}{27})$. График функции строится на основе этих данных.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае $f(x) = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и $x_0 = 4$.

1. Находим значение функции в точке $x_0 = 4$ (ординату точки касания):

$f(4) = 4^3 - 5(4)^2 - 4 + 5 = 64 - 5(16) - 4 + 5 = 64 - 80 - 4 + 5 = -15$.

Точка касания: $(4; -15)$.

2. Находим значение производной в точке $x_0 = 4$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(x) = 3x^2 - 10x - 1$

$f'(4) = 3(4)^2 - 10(4) - 1 = 3 \cdot 16 - 40 - 1 = 48 - 41 = 7$.

3. Подставляем найденные значения $x_0=4$, $f(x_0)=-15$ и $f'(x_0)=7$ в уравнение касательной:

$y = -15 + 7(x - 4)$

$y = -15 + 7x - 28$

$y = 7x - 43$

Ответ: $y = 7x - 43$.