Номер 1535, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1535, страница 424.

Условие.

Исследовать функцию $y = f(x)$ и построить её график (1535—1537).

1535 1) $f(x) = 4x^3 + 6x^2;$

2) $f(x) = 3x^2 - 2x^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исследуем функцию $f(x) = 4x³ + 6x²$.

1. Область определения функции.

   Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 4(-x)³ + 6(-x)² = -4x³ + 6x²$.

   Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 4(0)³ + 6(0)² = 0$. Точка пересечения (0, 0).

   • С осью Ox (при $y=0$): $4x³ + 6x² = 0 \Rightarrow 2x²(2x + 3) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1.5$. Точки пересечения (0, 0) и (-1.5, 0).

4. Асимптоты.

   Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси. Горизонтальных и наклонных асимптот также нет, поскольку это многочлен степени выше первой.

   Поведение на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} (4x³ + 6x²) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} (4x³ + 6x²) = -\infty$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (4x³ + 6x²)' = 12x² + 12x = 12x(x + 1)$.

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $12x(x + 1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

   Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

   • На интервале $(-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   • На интервале $(-1, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   • На интервале $(0, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(-1) = 4(-1)³ + 6(-1)² = -4 + 6 = 2$. Точка максимума (-1, 2).

   В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$. Точка минимума (0, 0).

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (12x² + 12x)' = 24x + 12 = 12(2x + 1)$.

   Найдем точки, где вторая производная равна нулю: $12(2x + 1) = 0$. Отсюда $x = -0.5$.

   Исследуем знак второй производной:

   • На интервале $(-\infty, -0.5)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.

   • На интервале $(-0.5, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

   Поскольку в точке $x = -0.5$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. $y_{перегиба} = f(-0.5) = 4(-0.5)³ + 6(-0.5)² = 4(-0.125) + 6(0.25) = -0.5 + 1.5 = 1$. Точка перегиба (-0.5, 1).

7. Построение графика.

   На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки для построения:

   • Пересечение с осями: (-1.5, 0), (0, 0).

   • Точка максимума: (-1, 2).

   • Точка минимума: (0, 0).

   • Точка перегиба: (-0.5, 1).

   График начинается в третьей четверти, возрастает до точки максимума (-1, 2), затем убывает, проходя через точку перегиба (-0.5, 1), до точки минимума (0, 0), и далее возрастает в первую четверть.

Ответ: Функция $f(x) = 4x³ + 6x²$ имеет локальный максимум в точке (-1, 2) и локальный минимум в точке (0, 0). Точка перегиба находится в (-0.5, 1). Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$ и убывает на $(-1, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, -0.5)$ и выпуклый вниз (вогнутый) на $(-0.5, +\infty)$. График функции представляет собой кубическую параболу, проходящую через точки пересечения с осями (-1.5, 0) и (0, 0).

---

2)

Исследуем функцию $f(x) = 3x² - 2x³$.

1. Область определения функции.

   Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 3(-x)² - 2(-x)³ = 3x² + 2x³$.

   Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 3(0)² - 2(0)³ = 0$. Точка пересечения (0, 0).

   • С осью Ox (при $y=0$): $3x² - 2x³ = 0 \Rightarrow x²(3 - 2x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1.5$. Точки пересечения (0, 0) и (1.5, 0).

4. Асимптоты.

   Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси. Горизонтальных и наклонных асимптот также нет, поскольку это многочлен степени выше первой.

   Поведение на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} (3x² - 2x³) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} (3x² - 2x³) = +\infty$.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (3x² - 2x³)' = 6x - 6x² = 6x(1 - x)$.

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x(1 - x) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

   Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

   • На интервале $(-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   • На интервале $(0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   • На интервале $(1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$. Точка минимума (0, 0).

   В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(1) = 3(1)² - 2(1)³ = 3 - 2 = 1$. Точка максимума (1, 1).

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (6x - 6x²)' = 6 - 12x = 6(1 - 2x)$.

   Найдем точки, где вторая производная равна нулю: $6(1 - 2x) = 0$. Отсюда $x = 0.5$.

   Исследуем знак второй производной:

   • На интервале $(-\infty, 0.5)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

   • На интервале $(0.5, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.

   Поскольку в точке $x = 0.5$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. $y_{перегиба} = f(0.5) = 3(0.5)² - 2(0.5)³ = 3(0.25) - 2(0.125) = 0.75 - 0.25 = 0.5$. Точка перегиба (0.5, 0.5).

7. Построение графика.

   На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки для построения:

   • Пересечение с осями: (0, 0), (1.5, 0).

   • Точка минимума: (0, 0).

   • Точка максимума: (1, 1).

   • Точка перегиба: (0.5, 0.5).

   График начинается во второй четверти, убывает до точки минимума (0, 0), затем возрастает, проходя через точку перегиба (0.5, 0.5), до точки максимума (1, 1), и далее убывает в четвертую четверть.

Ответ: Функция $f(x) = 3x² - 2x³$ имеет локальный минимум в точке (0, 0) и локальный максимум в точке (1, 1). Точка перегиба находится в (0.5, 0.5). Функция убывает на $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$ и возрастает на $(0, 1)$. График выпуклый вниз (вогнутый) на $(-\infty, 0.5)$ и выпуклый вверх на $(0.5, +\infty)$. График функции представляет собой кубическую параболу, проходящую через точки пересечения с осями (0, 0) и (1.5, 0).