Номер 1532, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1532, страница 424.

Условие.

1532 Найти точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$;

2) $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения будут являться критическими точками. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки.

1. Находим производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 4)' = 3x^2 + 6x - 9$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Это стационарные (критические) точки.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3(x-1)(x+3)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -3)$ производная $f'(x) > 0$ (например, при $x=-4$, $f'(-4) = 3(-4)^2+6(-4)-9 = 48-24-9=15>0$), следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-3; 1)$ производная $f'(x) < 0$ (например, при $x=0$, $f'(0) = -9<0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$ (например, при $x=2$, $f'(2) = 3(2)^2+6(2)-9 = 12+12-9=15>0$), следовательно, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с плюса на минус ($+ \to -$), следовательно, $x = -3$ — точка максимума.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс ($- \to +$), следовательно, $x = 1$ — точка минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 1$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^5 + 5$

Действуем по аналогичному алгоритму.

1. Находим производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^4 - 2x^5 + 5)' = 4x^3 - 10x^4$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 10x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $2x^3$ за скобки:

$2x^3(2 - 5x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$2x^3 = 0 \implies x_1 = 0$

$2 - 5x = 0 \implies 5x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{5} = 0.4$

Это стационарные (критические) точки.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 2x^3(2 - 5x)$ на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 0.4)$ и $(0.4; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) < 0$ (например, при $x=-1$, $f'(-1)=4(-1)^3-10(-1)^4 = -4-10=-14<0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 0.4)$ производная $f'(x) > 0$ (например, при $x=0.2$, $f'(0.2)=2(0.2)^3(2-5 \cdot 0.2) = 2(0.008)(2-1)=0.016>0$), следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(0.4; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$ (например, при $x=1$, $f'(1)=4(1)^3-10(1)^4 = 4-10=-6<0$), следовательно, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс ($- \to +$), следовательно, $x = 0$ — точка минимума.

В точке $x = 0.4$ производная меняет знак с плюса на минус ($+ \to -$), следовательно, $x = 0.4$ — точка максимума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = \frac{2}{5}$.