Номер 1529, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1529, страница 423.

Условие.

1529 Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндрической банки, а $h$ — ее высота. Объем банки $V$ — заданная постоянная величина.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Расход жести соответствует площади полной поверхности цилиндра $S$. Эта площадь складывается из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания (круга) равна $S_{осн} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Следовательно, площадь полной поверхности банки:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$

Нам необходимо минимизировать функцию $S$ при постоянном объеме $V$. Для этого выразим одну из переменных ($r$ или $h$) через другую, используя формулу объема. Удобнее выразить высоту $h$:

$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию $S$, зависящую только от одной переменной $r$:

$S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(r)$ найдем ее производную по переменной $r$ и приравняем ее к нулю.

$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r} \right) = 4 \pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$S'(r) = 0$

$4 \pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$

$4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$

Умножим обе части на $r^2$ (так как $r \ne 0$):

$4 \pi r^3 = 2V$

$V = 2 \pi r^3$

Мы нашли условие, при котором площадь поверхности будет минимальной. Теперь вернемся к исходной формуле объема $V = \pi r^2 h$ и подставим в нее полученное выражение для $V$:

$\pi r^2 h = 2 \pi r^3$

Разделим обе части уравнения на $\pi r^2$ (поскольку $r > 0$):

$h = 2r$

Таким образом, для минимизации расхода жести высота цилиндрической банки должна быть равна ее диаметру.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить знак второй производной:

$S''(r) = \frac{d}{dr} \left( 4 \pi r - 2V r^{-2} \right) = 4 \pi + 4V r^{-3} = 4 \pi + \frac{4V}{r^3}$

Поскольку $V > 0$ и $r > 0$, вторая производная $S''(r)$ всегда будет положительной. Это означает, что найденная точка является точкой минимума функции $S(r)$.

Ответ: Наименьший расход жести будет при условии, что высота банки равна диаметру ее основания, то есть $h = 2r$.