Номер 1530, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1530, страница 423.

Условие.

1530 Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса $R$, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть высота правильной треугольной призмы равна $H$, а сторона ее основания (правильного треугольника) равна $a$. Объем такой призмы $V$ вычисляется как произведение площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Тогда объем призмы выражается формулой:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} H$

Поскольку призма вписана в сферу радиуса $R$, все ее вершины лежат на поверхности этой сферы. Центр сферы будет находиться на середине высоты призмы. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через одну из вершин основания. Это сечение образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус сферы $R$, а катетами — половина высоты призмы $\frac{H}{2}$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы.

По теореме Пифагора имеем соотношение:

$R^2 = \left(\frac{H}{2}\right)^2 + r^2$

Радиус $r$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в уравнение выше:

$R^2 = \frac{H^2}{4} + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{H^2}{4} + \frac{a^2}{3}$

Теперь мы можем выразить $a^2$ через $H$ и $R$, чтобы получить функцию объема, зависящую только от одной переменной — высоты $H$:

$\frac{a^2}{3} = R^2 - \frac{H^2}{4}$

$a^2 = 3\left(R^2 - \frac{H^2}{4}\right)$

Подставим это выражение для $a^2$ в формулу объема:

$V(H) = \frac{3\left(R^2 - \frac{H^2}{4}\right) \sqrt{3}}{4} H = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(R^2 H - \frac{H^3}{4}\right)$

Для нахождения максимального объема найдем производную функции $V(H)$ по переменной $H$ и приравняем ее к нулю.

$V'(H) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \frac{d}{dH}\left(R^2 H - \frac{H^3}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(R^2 - \frac{3H^2}{4}\right)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{3\sqrt{3}}{4} \left(R^2 - \frac{3H^2}{4}\right) = 0$

$R^2 - \frac{3H^2}{4} = 0$

$\frac{3H^2}{4} = R^2$

$H^2 = \frac{4R^2}{3}$

Поскольку высота $H$ должна быть положительной величиной, извлекаем корень:

$H = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной. $V''(H) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(-\frac{6H}{4}\right) = -\frac{9\sqrt{3}}{8}H$. Так как $H>0$, вторая производная отрицательна, что подтверждает, что найденное значение $H$ соответствует максимальному объему.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$H = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$