Номер 1536, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1536, страница 424.

Условие.

1536 1) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$;

2) $y = x^4 - 2x^2 - 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$

Это задача на полное исследование функции и построение ее графика. Выполним исследование по стандартному плану.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

Проверим значение функции для $-x$:
$y(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = -\frac{0^4}{4} + 0^2 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-\frac{x^4}{4} + x^2 = 0$
$x^2(1 - \frac{x^2}{4}) = 0$
Отсюда $x^2 = 0$ или $1 - \frac{x^2}{4} = 0$.
$x_1 = 0$
$\frac{x^2}{4} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm 2$.
Точки пересечения: $(0; 0)$, $(-2; 0)$, $(2; 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Проверим наличие наклонных асимптот $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-\frac{x^4}{4} + x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (-\frac{x^3}{4} + x) = \mp\infty$.
Так как предел не является конечным числом, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (-\frac{x^4}{4} + x^2)' = -\frac{4x^3}{4} + 2x = -x^3 + 2x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-x^3 + 2x = 0 \implies x(-x^2 + 2) = 0$.
Критические точки: $x_1=0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.
Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На $(-\infty; -\sqrt{2})$: $y'(-2) = -(-2)^3 + 2(-2) = 8 - 4 = 4 > 0$, функция возрастает.
- На $(-\sqrt{2}; 0)$: $y'(-1) = -(-1)^3 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 < 0$, функция убывает.
- На $(0; \sqrt{2})$: $y'(1) = -(1)^3 + 2(1) = -1 + 2 = 1 > 0$, функция возрастает.
- На $(\sqrt{2}; +\infty)$: $y'(2) = -(2)^3 + 2(2) = -8 + 4 = -4 < 0$, функция убывает.
В точке $x = -\sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y_{max} = y(-\sqrt{2}) = -\frac{(-\sqrt{2})^4}{4} + (-\sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = 1$.
В точке $x = 0$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.
В точке $x = \sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y_{max} = y(\sqrt{2}) = 1$.
Точки экстремума: $(-\sqrt{2}; 1)$ - максимум, $(0; 0)$ - минимум, $(\sqrt{2}; 1)$ - максимум.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (-x^3 + 2x)' = -3x^2 + 2$.
Найдем точки возможного перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $-3x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Исследуем знак второй производной:
- На $(-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{3})$: $y''(-1) = -3(-1)^2 + 2 = -1 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутость вниз).
- На $(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3})$: $y''(0) = -3(0)^2 + 2 = 2 > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- На $(\frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$: $y''(1) = -3(1)^2 + 2 = -1 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутость вниз).
Так как в точках $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$ знак второй производной меняется, это точки перегиба. Найдем ординаты этих точек: $y(\pm\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\frac{1}{4}(\pm\sqrt{\frac{2}{3}})^4 + (\pm\sqrt{\frac{2}{3}})^2 = -\frac{1}{4}(\frac{4}{9}) + \frac{2}{3} = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{5}{9}$.
Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{5}{9})$.

Ответ: Функция $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$ является четной, определена на всей числовой оси. Пересекает оси в точках $(0; 0)$, $(-2; 0)$, $(2; 0)$. Имеет точки максимума $(-\sqrt{2}; 1)$ и $(\sqrt{2}; 1)$, точку минимума $(0; 0)$. Возрастает на интервалах $(-\infty; -\sqrt{2})$ и $(0; \sqrt{2})$, убывает на $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$. График вогнутый на интервале $(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3})$ и выпуклый вверх на интервалах $(-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$. Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{5}{9})$.

---

2) $y = x^4 - 2x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = y(x)$.
Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0; -3)$.

С осью Ox (при $y=0$):
$x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Возвращаемся к замене: $x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет. Проверим наклонные:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 2x^2 - 3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^3 - 2x - \frac{3}{x}) = \pm\infty$.
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Первая производная: $y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.
Критические точки: $4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies 4x(x-1)(x+1)=0$.
Критические точки: $x_1=0$, $x_2=-1$, $x_3=1$.
Исследуем знак производной:
- На $(-\infty; -1)$: $y'(-2) = 4(-8) - 4(-2) = -24 < 0$, функция убывает.
- На $(-1; 0)$: $y'(-0.5) = 4(-0.125) - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$, функция возрастает.
- На $(0; 1)$: $y'(0.5) = 4(0.125) - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$, функция убывает.
- На $(1; +\infty)$: $y'(2) = 4(8) - 4(2) = 24 > 0$, функция возрастает.
$x = -1$ - точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
$x = 0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = -3$.
$x = 1$ - точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Точки экстремума: $(-1; -4)$ - минимум, $(0; -3)$ - максимум, $(1; -4)$ - минимум.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.
Точки возможного перегиба: $12x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Исследуем знак второй производной:
- На $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$: $y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0$, график вогнутый.
- На $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$: $y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$: $y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0$, график вогнутый.
В точках $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ происходит смена знака вогнутости, это точки перегиба.
$y(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\pm\frac{1}{\sqrt{3}})^4 - 2(\pm\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.
Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$.

Ответ: Функция $y = x^4 - 2x^2 - 3$ является четной, определена на всей числовой оси. Пересекает ось Oy в точке $(0; -3)$ и ось Ox в точках $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. Имеет точки минимума $(-1; -4)$ и $(1; -4)$, и точку максимума $(0; -3)$. Возрастает на интервалах $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$. График вогнутый (выпуклый вниз) на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, и выпуклый вверх на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$.