Номер 1531, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1531, страница 423.

Условие.

1531 Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Рассмотрим цилиндр, вписанный в этот конус. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Очевидно, что $0 < r < R$ и $0 < h < H$.

Для нахождения связи между $r$ и $h$, рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него цилиндра. Сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Сечение цилиндра — это прямоугольник с основанием $2r$ и высотой $h$.

В этом осевом сечении образуются два подобных прямоугольных треугольника. Первый (большой) треугольник образован высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей. Второй (малый) треугольник находится над цилиндром. Его катетами являются радиус цилиндра $r$ и часть высоты конуса, расположенная над цилиндром, которая равна $H - h$. Из подобия этих треугольников следует соотношение: $ \frac{H - h}{r} = \frac{H}{R} $

Выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$: $ H - h = \frac{H}{R} r $ $ h = H - \frac{H}{R} r = H \left(1 - \frac{r}{R}\right) $

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $ V = \pi r^2 h $ Подставим выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от одной переменной $r$: $ V(r) = \pi r^2 \left(H \left(1 - \frac{r}{R}\right)\right) = \pi H \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) $

Чтобы найти максимальный объем, нам нужно найти максимум функции $V(r)$ на интервале $(0, R)$. Для этого найдем производную функции $V(r)$ по переменной $r$ и приравняем ее к нулю. $ V'(r) = \frac{dV}{dr} = \pi H \frac{d}{dr} \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) = \pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right) $

Приравняем производную к нулю: $ \pi H \left(2r - \frac{3r^2}{R}\right) = 0 $ Поскольку $\pi > 0$ и $H > 0$, то: $ 2r - \frac{3r^2}{R} = 0 $ $ r \left(2 - \frac{3r}{R}\right) = 0 $

Это уравнение имеет два решения: $r = 0$ и $2 - \frac{3r}{R} = 0$. Решение $r = 0$ соответствует цилиндру с нулевым объемом, что является минимумом. Рассмотрим второе решение: $ 2 = \frac{3r}{R} $ $ 3r = 2R $ $ r = \frac{2}{3}R $

Это значение $r$ находится в интервале $(0, R)$, поэтому оно является точкой возможного экстремума. Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную: $ V''(r) = \pi H \left(2 - \frac{6r}{R}\right) $ При $r = \frac{2}{3}R$: $ V''\left(\frac{2}{3}R\right) = \pi H \left(2 - \frac{6}{R} \cdot \frac{2}{3}R\right) = \pi H (2 - 4) = -2\pi H $ Поскольку $H > 0$, вторая производная отрицательна, что подтверждает, что при $r = \frac{2}{3}R$ объем цилиндра достигает своего максимума.

Теперь найдем высоту этого цилиндра, подставив найденное значение $r$ в выражение для $h$: $ h = H \left(1 - \frac{r}{R}\right) = H \left(1 - \frac{\frac{2}{3}R}{R}\right) = H \left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}H $

Таким образом, цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания, равный $2/3$ радиуса основания конуса, и высоту, равную $1/3$ высоты конуса.

Ответ: Цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания $r = \frac{2}{3}R$ и высоту $h = \frac{1}{3}H$.