Номер 1528, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1528, страница 423.

Условие.

1528 Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса $R$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $R$ — радиус сферы. Рассмотрим цилиндр, вписанный в эту сферу. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Объем такого цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Чтобы найти цилиндр наибольшего объема, нам нужно выразить его объем как функцию одной переменной. Для этого найдем связь между $r$, $h$ и $R$.

Рассмотрим осевое сечение сферы и вписанного в нее цилиндра. Сечением сферы будет большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности большого круга.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом цилиндра $r$ (один катет) и половиной высоты цилиндра $h/2$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Из этого соотношения выразим $r^2$:

$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Теперь подставим это выражение в формулу для объема цилиндра, чтобы получить зависимость объема только от высоты $h$:

$V(h) = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4})h = \pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3$

Для нахождения максимального значения объема найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$ и приравняем ее к нулю.

$V'(h) = (\pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3)' = \pi R^2 - \frac{\pi}{4} \cdot 3h^2 = \pi (R^2 - \frac{3}{4}h^2)$

Приравняем производную к нулю для поиска экстремумов:

$\pi (R^2 - \frac{3}{4}h^2) = 0$

$R^2 = \frac{3}{4}h^2$

$h^2 = \frac{4R^2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ (берем положительное значение, так как высота не может быть отрицательной).

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной: $V''(h) = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$. Так как $h > 0$, вторая производная отрицательна, что подтверждает, что найденное значение $h$ соответствует максимуму объема.

Теперь найдем радиус основания $r$ этого цилиндра:

$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} = R^2 - \frac{1}{4} \left(\frac{4R^2}{3}\right) = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$

$r = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = R\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = R\sqrt{\frac{2}{3}}$

Таким образом, цилиндр наибольшего объема, который можно поместить внутри сферы радиуса $R$, имеет высоту $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ и радиус основания $r = R\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: Цилиндр наибольшего объема имеет радиус основания $r = R\sqrt{\frac{2}{3}}$ и высоту $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.