Номер 1522, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1522, страница 423.

Условие.

1522 Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен $V$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Объём цилиндра $V$ и площадь его полной поверхности $S$ определяются формулами:
$V = \pi r^2 h$
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Для решения задачи необходимо найти наименьшее значение функции $S$ при постоянном значении $V$. Для этого выразим одну из переменных, например $h$, из формулы объёма и подставим в формулу площади поверхности.

Из формулы объёма получаем:
$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Подставляем это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию $S$, зависящую только от одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Чтобы найти минимальное значение функции $S(r)$, нужно найти её производную по $r$ и приравнять к нулю.
$S'(r) = \frac{d}{dr} \left(2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
$4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$
$4\pi r^3 = 2V$
$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$
Отсюда находим значение радиуса, при котором площадь может быть минимальной:
$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно использовать вторую производную:
$S''(r) = \frac{d}{dr} \left(4\pi r - 2Vr^{-2}\right) = 4\pi + 4Vr^{-3} = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$
Поскольку объём $V > 0$ и радиус $r > 0$, вторая производная $S''(r)$ всегда положительна. Это подтверждает, что найденное значение $r$ соответствует минимуму площади поверхности.

При данном радиусе высота цилиндра $h$ будет равна:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$
Таким образом, цилиндр с заданным объёмом имеет наименьшую площадь поверхности, когда его высота равна диаметру основания.

Теперь вычислим эту наименьшую площадь $S_{min}$, подставив $h = 2r$ в исходную формулу для $S$:
$S_{min} = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$

Выразим $r^2$ через $V$, используя соотношение $r^3 = \frac{V}{2\pi}$:
$r^2 = \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}$

Подставим это в выражение для $S_{min}$:
$S_{min} = 6\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3} = 6\pi \frac{V^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}} = 3 \cdot 2 \pi \cdot (2\pi)^{-2/3} V^{2/3} = 3 \cdot (2\pi)^{1-2/3} V^{2/3} = 3(2\pi)^{1/3}V^{2/3}$
Это можно записать в виде:
$S_{min} = 3\sqrt[3]{2\pi V^2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{2\pi V^2}$