Номер 1515, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1515, страница 422.

Условие.

1515 Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 (2x - 3) - 12 (3x - 2)$ на отрезке $[-3; 6]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо выполнить следующие действия. Первым шагом упростим заданное выражение функции:

$f(x) = x^2(2x - 3) - 12(3x - 2) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 24$.

Далее, чтобы найти точки возможного экстремума (максимума или минимума), найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 24)' = 6x^2 - 6x - 36$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Его корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим, входят ли эти критические точки в заданный отрезок $[-3; 6]$.

Точка $x_1 = 3$ принадлежит отрезку $[-3; 6]$.

Точка $x_2 = -2$ также принадлежит отрезку $[-3; 6]$.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Поэтому вычислим значения функции в точках $x = -3$, $x = -2$, $x = 3$ и $x = 6$.

$f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 24 = 2(-27) - 3(9) + 108 + 24 = -54 - 27 + 108 + 24 = 51$.

$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 24 = 2(-8) - 3(4) + 72 + 24 = -16 - 12 + 72 + 24 = 68$.

$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 24 = 2(27) - 3(9) - 108 + 24 = 54 - 27 - 108 + 24 = -57$.

$f(6) = 2(6)^3 - 3(6)^2 - 36(6) + 24 = 2(216) - 3(36) - 216 + 24 = 432 - 108 - 216 + 24 = 132$.

Сравним полученные значения: $51$, $68$, $-57$, $132$.

Наибольшее из этих значений равно $132$, а наименьшее равно $-57$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 6]$ равно 132, а наименьшее значение равно -57.