Номер 1510, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1510, страница 422.

Условие.

1510 Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Тогда стороны этого прямоугольника равны диаметру основания $d = 2r$ и высоте $h$.

Периметр осевого сечения, по условию, равен 6 дм. Формула периметра прямоугольника: $P = 2(d + h)$.

Подставим известные значения:

$2(2r + h) = 6$

$2r + h = 3$

Отсюда мы можем выразить высоту $h$ через радиус $r$:

$h = 3 - 2r$

Поскольку высота и радиус должны быть положительными величинами, то $r > 0$ и $h > 0$. Из $h = 3 - 2r > 0$ следует, что $2r < 3$, то есть $r < 1.5$. Таким образом, радиус может принимать значения в интервале $0 < r < 1.5$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим в эту формулу выражение для $h$, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от радиуса $r$:

$V(r) = \pi r^2 (3 - 2r) = 3\pi r^2 - 2\pi r^3$

Для нахождения радиуса, при котором объём будет наибольшим, нам нужно найти максимум функции $V(r)$. Для этого найдём её производную по $r$ и приравняем к нулю.

$V'(r) = (3\pi r^2 - 2\pi r^3)' = 3\pi \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = 6\pi r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$6\pi r - 6\pi r^2 = 0$

$6\pi r(1 - r) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $r_1 = 0$ и $r_2 = 1$. Корень $r_1 = 0$ не входит в нашу область определения $0 < r < 1.5$, так как при таком радиусе цилиндр вырождается. Следовательно, единственная критическая точка в рассматриваемом интервале — это $r = 1$.

Чтобы убедиться, что в точке $r = 1$ достигается максимум, найдём вторую производную:

$V''(r) = (6\pi r - 6\pi r^2)' = 6\pi - 12\pi r$

Подставим значение $r = 1$ во вторую производную:

$V''(1) = 6\pi - 12\pi \cdot 1 = -6\pi$

Так как $V''(1) < 0$, точка $r = 1$ является точкой максимума функции $V(r)$.

Следовательно, объём цилиндра будет наибольшим при радиусе основания, равном 1 дм.

Ответ: 1 дм.