Номер 1506, страница 422 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1506, страница 422.

Условие.

1506 1) $y = \frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1};$

2) $y = \frac{x^2+6x+3}{3x+4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения области значений функции $y = \frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}$ преобразуем данное равенство, чтобы выразить $x$ через $y$.
Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби $x^2+x+1$. Найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), знаменатель $x^2+x+1$ всегда больше нуля при любых действительных $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Рассмотрим исходное равенство как уравнение относительно $x$, где $y$ является параметром:
$y(x^2+x+1) = 3x^2+4x+4$
$yx^2+yx+y = 3x^2+4x+4$
$yx^2 - 3x^2 + yx - 4x + y - 4 = 0$
$(y-3)x^2 + (y-4)x + (y-4) = 0$
Мы получили уравнение, которое является квадратным относительно $x$ (при $y \ne 3$). Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант $D_x$ неотрицателен ($D_x \ge 0$).

Случай 1: $y-3 \ne 0$, то есть $y \ne 3$.
Дискриминант этого квадратного уравнения: $D_x = (y-4)^2 - 4(y-3)(y-4)$.
Требуется выполнение условия $D_x \ge 0$:
$(y-4)^2 - 4(y-3)(y-4) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(y-4)$ за скобки:
$(y-4)((y-4) - 4(y-3)) \ge 0$
$(y-4)(y-4 - 4y+12) \ge 0$
$(y-4)(-3y+8) \ge 0$
Для решения этого неравенства найдем корни: $y=4$ и $y=8/3$. Графиком функции $f(y)=(y-4)(-3y+8)$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $y^2$ равен -3). Следовательно, неотрицательные значения функция принимает между корнями.
$y \in [8/3, 4]$.

Случай 2: $y-3 = 0$, то есть $y=3$.
Подставим $y=3$ в уравнение $(y-3)x^2 + (y-4)x + (y-4) = 0$:
$0 \cdot x^2 + (3-4)x + (3-4) = 0$
$-x - 1 = 0$
$x = -1$
Это означает, что при $x=-1$ функция принимает значение $y=3$. Это значение входит в найденный ранее промежуток $[8/3, 4]$, так как $8/3 \le 3 \le 4$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что область значений функции — это отрезок $[8/3, 4]$.
Ответ: $E(y) = [8/3, 4]$.

2) Найдем область значений функции $y = \frac{x^2+6x+3}{3x+4}$.
Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $3x+4 \ne 0$, то есть $x \ne -4/3$.
Преобразуем выражение, рассматривая его как уравнение относительно $x$ с параметром $y$:
$y(3x+4) = x^2+6x+3$
$3xy+4y = x^2+6x+3$
$x^2 + 6x - 3xy + 3 - 4y = 0$
$x^2 + (6-3y)x + (3-4y) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Для того чтобы оно имело действительные корни, его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).
$D_x = (6-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3-4y)$
$D_x = (36 - 36y + 9y^2) - (12 - 16y)$
$D_x = 9y^2 - 20y + 24$
Теперь необходимо решить неравенство $9y^2 - 20y + 24 \ge 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $f(y) = 9y^2 - 20y + 24$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $y^2$ положителен ($9 > 0$).
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена, назовем его $D_y$:
$D_y = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 24 = 400 - 864 = -464$.
Так как $D_y < 0$ и ветви параболы направлены вверх, парабола не пересекает ось абсцисс и полностью лежит в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $9y^2 - 20y + 24$ положительно при любых действительных значениях $y$.
Следовательно, неравенство $D_x \ge 0$ выполняется для всех $y \in \mathbb{R}$.
Таким образом, для любого действительного значения $y$ найдется соответствующее действительное значение $x$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.