Номер 1500, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1500, страница 421.

Условие.

1500 Найти тангенс угла, который касательная к графику функции $y = x^2 \cdot e^{-x}$ в точке с абсциссой $x = 1$ образует с осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке. То есть, если $\alpha$ — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox, то $\tan(\alpha) = y'(x_0)$.

В данной задаче функция $y = x^2 \cdot e^{-x}$ и точка касания имеет абсциссу $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $y(x)$. Функция представляет собой произведение двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{-x}$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v(x) = e^{-x}$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = (x^2 \cdot e^{-x})' = u'v + uv' = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$

Можно вынести общий множитель $xe^{-x}$ за скобки для упрощения:

$y' = xe^{-x}(2 - x)$

Далее, вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = 1 \cdot e^{-1} \cdot (2 - 1) = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$

Значение производной в точке касания и есть тангенс искомого угла.

$ \tan(\alpha) = y'(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} $

Ответ: $\frac{1}{e}$