Номер 1496, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1496, страница 421.

Условие.

1496 Найти точки, в которых касательные к графику функции $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$ параллельны оси абсцисс.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (оси Ox), если её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $f'(x_0)$ в этой точке. Следовательно, для нахождения искомых точек необходимо найти производную данной функции, приравнять её к нулю, найти абсциссы точек ($x$), а затем вычислить соответствующие ординаты ($y$).

Дана функция: $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$.

1. Найдём производную функции.

Используя правила дифференцирования, получаем:
$y' = (4x^3 - 9x^2 + 6x + 1)'$
$y' = 4 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^2)' + 6 \cdot (x)' + (1)'$
$y' = 4 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 6 \cdot 1 + 0$
$y' = 12x^2 - 18x + 6$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение.

$12x^2 - 18x + 6 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 6:
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдём его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

3. Найдём ординаты точек.

Подставим найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x + 1$.

Для $x_1 = \frac{1}{2}$:
$y_1 = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 9 \cdot \frac{1}{4} + 3 + 1 = \frac{1}{2} - \frac{9}{4} + 4 = \frac{2}{4} - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{9}{4}$.
Следовательно, первая точка имеет координаты $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.

Для $x_2 = 1$:
$y_2 = 4(1)^3 - 9(1)^2 + 6(1) + 1 = 4 - 9 + 6 + 1 = 2$.
Следовательно, вторая точка имеет координаты $(1, 2)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ и $(1, 2)$.