Номер 1489, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1489, страница 421.

Условие.

1489 1) $y = 0,5 + \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = 0,5 \cos x + \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем область значений функции $y = 0,5 + \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Область значений функции синус, $E(\sin t)$, является отрезком $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $t$ (в данном случае $t = x - \frac{\pi}{4}$), выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Функция $y$ получается из функции $z = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем прибавления константы 0,5. Это соответствует сдвигу графика вверх на 0,5 единицы. Чтобы найти новую область значений, нужно ко всем частям неравенства прибавить 0,5:

$-1 + 0,5 \le 0,5 + \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1 + 0,5$

Выполним вычисления:

$-0,5 \le y \le 1,5$

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-0,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-0,5; 1,5]$.

2) Найдем область значений функции $y = 0,5 \cos x + \sin x$.

Данная функция представляет собой линейную комбинацию синуса и косинуса вида $y = a \cos x + b \sin x$, где в нашем случае $a = 0,5$ и $b = 1$.

Область значений такой функции можно найти с помощью метода введения вспомогательного угла. Известно, что область значений функции $y = a \cos x + b \sin x$ является отрезком $[-\sqrt{a^2+b^2}; \sqrt{a^2+b^2}]$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2+b^2}$ для нашей функции:

$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(0,5)^2 + 1^2} = \sqrt{0,25 + 1} = \sqrt{1,25}$

Упростим полученное иррациональное число:

$\sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\frac{\sqrt{5}}{2}$, а наибольшее — $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}]$.