Номер 1488, страница 421 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1488, страница 421.

Условие.

Найти множество значений функции (1488—1489).

1488 1) $y = x^2 + 6x + 3$;

2) $y = -2x^2 + 8x - 1$;

3) $y = 2 + \frac{2}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Функция $y = x^2 + 6x + 3$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$, $b=6$, поэтому абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Ордината вершины, которая и является наименьшим значением функции, равна:

$y_0 = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 3 = 9 - 18 + 3 = -6$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$y = x^2 + 6x + 3 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 3 = (x+3)^2 - 6$.

Так как $(x+3)^2 \geq 0$ для всех действительных $x$, то наименьшее значение функции $y$ равно $-6$ (достигается при $x=-3$).

Таким образом, множество значений функции — это все числа не меньше $-6$.

Ответ: $[-6; +\infty)$.

2) Функция $y = -2x^2 + 8x - 1$ является квадратичной. График — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-2 < 0$). Следовательно, функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=-2$, $b=8$:

$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = \frac{8}{4} = 2$.

Ордината вершины, являющаяся наибольшим значением функции, равна:

$y_0 = y(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 1 = -2 \cdot 4 + 16 - 1 = -8 + 16 - 1 = 7$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$y = -2(x^2 - 4x) - 1 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -2((x-2)^2 - 4) - 1 = -2(x-2)^2 + 8 - 1 = -2(x-2)^2 + 7$.

Так как $-2(x-2)^2 \leq 0$ для всех действительных $x$, то наибольшее значение функции $y$ равно $7$ (достигается при $x=2$).

Таким образом, множество значений функции — это все числа не больше $7$.

Ответ: $(-\infty; 7]$.

3) Функция $y = 2 + \frac{2}{x}$ является дробно-рациональной. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Чтобы найти множество значений функции, выразим переменную $x$ через $y$ из уравнения функции:

$y = 2 + \frac{2}{x}$

$y - 2 = \frac{2}{x}$

Из последнего равенства видно, что выражение $y-2$ не может быть равно нулю, так как дробь $\frac{2}{x}$ никогда не обращается в ноль (для этого числитель должен быть равен нулю, а он равен 2). Следовательно, $y - 2 \neq 0$, что означает $y \neq 2$.

Для любого $y \neq 2$, мы можем найти соответствующее значение $x$: $x = \frac{2}{y-2}$. Поскольку знаменатель $y-2$ не равен нулю, это выражение всегда определено. Также, $x$ не будет равно нулю, так как для этого числитель (равный 2) должен быть равен нулю, что невозможно.

Таким образом, функция может принимать любое значение $y$, кроме $y=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.