Номер 1487, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1487, страница 420.

Условие.

1487 1) $y = \sqrt{\log_{0.8} (x^2 - 5x + 7)};$

2) $y = \sqrt{\log_{0.5} (x^2 - 9)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7)}$ необходимо, чтобы выполнялись два условия: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge 0, \\ x^2 - 5x + 7 > 0. \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge 0$.

Представим $0$ в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{0.8}(1)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0.8}(x^2 - 5x + 7) \ge \log_{0.8}(1)$.

Поскольку основание логарифма $0.8$ меньше 1 ($0 < 0.8 < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 - 5x + 7 \le 1$

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение этого неравенства — это отрезок $x \in [2, 3]$.

Рассмотрим второе неравенство системы: $x^2 - 5x + 7 > 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 7$ положителен при любом действительном значении $x$. То есть, второе неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Область определения исходной функции является пересечением решений двух неравенств: $x \in [2, 3]$ и $x \in (-\infty, +\infty)$. Пересечением этих множеств является отрезок $[2, 3]$.

Ответ: $[2, 3]$.

2)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_{0.5}(x^2 - 9)}$ составим и решим систему неравенств, исходя из тех же условий: подкоренное выражение неотрицательно, а аргумент логарифма положителен.

$ \begin{cases} \log_{0.5}(x^2 - 9) \ge 0, \\ x^2 - 9 > 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\log_{0.5}(x^2 - 9) \ge 0$.

Представим $0$ как $\log_{0.5}(1)$, получим $\log_{0.5}(x^2 - 9) \ge \log_{0.5}(1)$.

Основание логарифма $0.5$ меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывающая. При переходе к аргументам меняем знак неравенства:

$x^2 - 9 \le 1$

$x^2 - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10 = 0$. Получаем $x^2 = 10$, откуда $x_1 = -\sqrt{10}$ и $x_2 = \sqrt{10}$.

График $f(x) = x^2 - 10$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 9 > 0$.

$x^2 > 9$

Это неравенство равносильно $|x| > 3$, что дает нам объединение двух интервалов: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти общие значения для множеств $x \in [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Сравним числа: $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, следовательно, $\sqrt{10} > 3$. Аналогично, $-\sqrt{10} < -3$.

Искомое пересечение — это те части отрезка $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$, которые лежат левее $-3$ или правее $3$.

Это соответствует двум промежуткам: от $-\sqrt{10}$ (включительно) до $-3$ (не включая) и от $3$ (не включая) до $\sqrt{10}$ (включительно).

Ответ: $[-\sqrt{10}, -3) \cup (3, \sqrt{10}]$.