Номер 1485, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1485, страница 420.

Условие.

1485 1) $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$

2) $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Таким образом, мы должны решить систему:

$\begin{cases} \frac{x-3}{x+3} \ge 0 \\ x+3 \ne 0 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x-3}{x+3} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x-3=0 \implies x=3$

$x+3=0 \implies x=-3$

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=3$ будет включена (закрашенная), так как неравенство нестрогое, а точка $x=-3$ будет исключена (выколотая), так как она обращает знаменатель в ноль и нарушает условие $x+3 \ne 0$.

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x+3}$ на полученных интервалах: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$.

• При $x > 3$, например $x=4$: $\frac{4-3}{4+3} = \frac{1}{7} > 0$. Знак «+».
• При $-3 < x < 3$, например $x=0$: $\frac{0-3}{0+3} = -1 < 0$. Знак «-».
• При $x < -3$, например $x=-4$: $\frac{-4-3}{-4+3} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно (знак «+» или равно нулю). Это объединение интервалов $(-\infty, -3)$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [3, +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$

Область определения этой функции (ОДЗ) определяется системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge 0$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $\frac{2x+1}{x-6} > 0$.

Рассмотрим первое неравенство: $\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge 0$.

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_3 1$.

$\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \ge \log_3 1$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x+1}{x-6} \ge 1$

Заметим, что если выполняется это условие, то автоматически выполняется и второе условие ОДЗ ($\frac{2x+1}{x-6} > 0$), так как любое число, большее или равное 1, строго больше 0. Следовательно, достаточно решить только неравенство $\frac{2x+1}{x-6} \ge 1$.

Решим это рациональное неравенство:

$\frac{2x+1}{x-6} - 1 \ge 0$

$\frac{2x+1 - (x-6)}{x-6} \ge 0$

$\frac{2x+1 - x + 6}{x-6} \ge 0$

$\frac{x+7}{x-6} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x+7=0 \implies x=-7$

$x-6=0 \implies x=6$

Отметим точки на числовой оси. Точка $x=-7$ включается (неравенство нестрогое), а точка $x=6$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{x+7}{x-6}$ на интервалах $(-\infty, -7]$, $(-7, 6)$ и $(6, +\infty)$.

• При $x > 6$, например $x=7$: $\frac{7+7}{7-6} = 14 > 0$. Знак «+».
• При $-7 < x < 6$, например $x=0$: $\frac{0+7}{0-6} = -\frac{7}{6} < 0$. Знак «-».
• При $x < -7$, например $x=-8$: $\frac{-8+7}{-8-6} = \frac{-1}{-14} > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно (знак «+» или равно нулю). Это $(-\infty, -7]$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup (6, +\infty)$.