Номер 1486, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1486, страница 420.

Условие.

1486 1) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11}}$;

2) $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11}}$, необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, а знаменатель дроби не равнялся нулю. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11} \ge 0, \\ x^2 - 12x + 11 \ne 0. \end{cases} $

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x - 16}{x^2 - 12x + 11} \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $x^2 - 6x - 16 = 0$:
Используя, например, теорему Виета, находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 8$.
Тогда числитель раскладывается на множители: $(x+2)(x-8)$.

Корни знаменателя $x^2 - 12x + 11 = 0$:
Используя, например, теорему Виета, находим корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 11$.
Тогда знаменатель раскладывается на множители: $(x-1)(x-11)$.

Неравенство принимает вид: $ \frac{(x+2)(x-8)}{(x-1)(x-11)} \ge 0 $

Отметим на числовой оси корни числителя (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое) и корни знаменателя (выколотыми точками, так как на ноль делить нельзя).
Получаем точки: -2, 1, 8, 11.

Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:
- на интервале $(-\infty, -2]$ знак `+`
- на интервале $[-2, 1)$ знак `-`
- на интервале $(1, 8]$ знак `+`
- на интервале $[8, 11)$ знак `-`
- на интервале $(11, +\infty)$ знак `+`

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, +\infty)$.

2)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1}$, необходимо выполнение двух условий одновременно:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1 \ge 0$.

2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-3 > 0$.

Решим систему этих неравенств: $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) - 1 \ge 0, \\ x-3 > 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge 1 $

Представим 1 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$: $1 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^1) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$.

Неравенство принимает вид: $ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) $

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ x-3 \le \frac{1}{2} $
$ x \le 3 + \frac{1}{2} $
$ x \le 3.5 $

Решим второе неравенство из системы: $ x - 3 > 0 $
$ x > 3 $

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \le 3.5$ и $x > 3$.

Область определения функции — это интервал $(3, 3.5]$.

Ответ: $(3, 3.5]$.