Номер 1484, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1484, страница 420.

Условие.

Найти область определения функции (1484-1487).

1484 1) $y = 2^x + \lg (6 - 3x)$;

2) $y = 3^{-x} - 2 \ln (2x + 4)$;

3) $y = \tan \frac{x}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 2^x + \lg(6 - 3x)$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух функций: показательной $f(x) = 2^x$ и логарифмической $g(x) = \lg(6 - 3x)$.

1. Область определения показательной функции $f(x) = 2^x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область определения логарифмической функции $g(x) = \lg(6 - 3x)$ определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Решим неравенство:

$6 - 3x > 0$

$-3x > -6$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-6}{-3}$

$x < 2$

Следовательно, область определения для $g(x)$ есть интервал $(-\infty; 2)$.

Область определения исходной функции $y$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$(-\infty; +\infty) \cap (-\infty; 2) = (-\infty; 2)$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) $y = 3^{-x} - 2 \ln(2x + 4)$

Данная функция представляет собой разность двух функций: показательной $f(x) = 3^{-x}$ и логарифмической $g(x) = -2 \ln(2x + 4)$.

1. Область определения показательной функции $f(x) = 3^{-x}$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область определения функции $g(x) = -2 \ln(2x + 4)$ определяется условием, что выражение под знаком натурального логарифма должно быть строго положительным. Решим неравенство:

$2x + 4 > 0$

$2x > -4$

$x > -2$

Следовательно, область определения для $g(x)$ есть интервал $(-2; +\infty)$.

Область определения исходной функции $y$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$(-\infty; +\infty) \cap (-2; +\infty) = (-2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

3) $y = \tg\frac{x}{4}$

Область определения функции тангенса $y = \tg(\alpha)$ определяется условием, что косинус аргумента не должен быть равен нулю, так как $\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. В данном случае аргумент $\alpha = \frac{x}{4}$.

Таким образом, мы должны исключить значения $x$, для которых $\cos\frac{x}{4} = 0$.

Уравнение $\cos(t) = 0$ имеет решения $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Подставим наш аргумент $\frac{x}{4}$ вместо $t$:

$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 4 \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)$

$x = 2\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Эти значения $x$ необходимо исключить из множества всех действительных чисел.

Ответ: $x \neq 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.