Номер 1479, страница 420 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1479, страница 420.

Условие.

1479 Построить график функции $y = ax^2 + bx + c$, если $y(-2) = 15$, $y(3) = 0$, $y(0) = -3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения уравнения функции вида $y = ax^2 + bx + c$ необходимо определить коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Для этого воспользуемся тремя заданными точками, через которые проходит график функции: $(-2, 15)$, $(3, 0)$ и $(0, -3)$.

1. Нахождение коэффициентов a, b, c

Сначала подставим координаты точки $(0, -3)$ в общее уравнение функции:
$y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -3$
Из этого уравнения сразу получаем значение коэффициента $c$:
$c = -3$

Теперь уравнение функции имеет вид $y = ax^2 + bx - 3$. Подставим в него координаты двух других точек, чтобы составить систему уравнений для нахождения $a$ и $b$.
Для точки $(-2, 15)$:
$y(-2) = a(-2)^2 + b(-2) - 3 = 15$
$4a - 2b - 3 = 15$
$4a - 2b = 18$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$2a - b = 9$ (1)

Для точки $(3, 0)$:
$y(3) = a(3)^2 + b(3) - 3 = 0$
$9a + 3b - 3 = 0$
$9a + 3b = 3$
Разделив обе части уравнения на 3, получим:
$3a + b = 1$ (2)

Теперь решим систему, состоящую из уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 2a - b = 9 \\ 3a + b = 1 \end{cases}$
Сложим левые и правые части уравнений:
$(2a - b) + (3a + b) = 9 + 1$
$5a = 10$
$a = 2$

Подставим найденное значение $a = 2$ в уравнение (2):
$3(2) + b = 1$
$6 + b = 1$
$b = 1 - 6 = -5$

Таким образом, коэффициенты функции найдены: $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.
Искомое уравнение функции: $y = 2x^2 - 5x - 3$.

2. Построение графика

Графиком функции $y = 2x^2 - 5x - 3$ является парабола. Для ее построения найдем ключевые характеристики и точки.
1. Направление ветвей. Так как старший коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$
$y_в = 2 \cdot (\frac{5}{4})^2 - 5 \cdot \frac{5}{4} - 3 = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} - 3 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{49}{8} = -6.125$
Вершина параболы находится в точке $(1.25; -6.125)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$): $y = 2(0)^2 - 5(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.
С осью OX (при $y=0$): решаем квадратное уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = 3$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = -0.5$.
Точки пересечения с осью OX: $(3, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

4. Построение. Для построения графика на координатной плоскости отмечаем найденные точки: вершину $(1.25; -6.125)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(3, 0)$, $(-0.5, 0)$, а также исходную точку $(-2, 15)$. Соединяем эти точки плавной кривой, учитывая, что ветви параболы направлены вверх, а ось симметрии проходит через $x=1.25$.

Ответ: Уравнение функции $y = 2x^2 - 5x - 3$. График — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1.25; -6.125)$, пересекающая ось OY в точке $(0, -3)$ и ось OX в точках $(-0.5, 0)$ и $(3, 0)$.