Номер 1472, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1472, страница 419.

Условие.

1472 1) $y = x \sin x;$

2) $y = x^2 \cos 2x;$

3) $y = x + \sin x;$

4) $y = x + \cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = x \sin x$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$.

Тогда их производные равны:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (x \sin x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Ответ: $y' = \sin x + x \cos x$.

2) $y = x^2 \cos 2x$

Эта функция также является произведением двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = \cos 2x$. Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x) = \cos 2x$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\cos t)' = -\sin t$ и производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:

$y' = (x^2 \cos 2x)' = u'v + uv' = (2x) \cdot \cos 2x + x^2 \cdot (-2 \sin 2x) = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x$.

Ответ: $y' = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x$.

3) $y = x + \sin x$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$.

Находим производные каждого слагаемого:

$(x)' = 1$

$(\sin x)' = \cos x$

Складываем производные:

$y' = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Ответ: $y' = 1 + \cos x$.

4) $y = x + \cos x$

Аналогично предыдущему пункту, используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$.

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \cos x$.

Находим производные каждого слагаемого:

$(x)' = 1$

$(\cos x)' = -\sin x$

Складываем производные:

$y' = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 + (-\sin x) = 1 - \sin x$.

Ответ: $y' = 1 - \sin x$.