Номер 1471, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1471, страница 419.

Условие.

1471 1) $y = 2x^2 - 1;$

2) $y = x - x^3;$

3) $y = x^5 - \frac{1}{x};$

4) $y = \frac{\sin x}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = 2x^2 - 1$ воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

• Правило дифференцирования разности: $(u - v)' = u' - v'$.
• Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
• Производная степенной функции: $(x^n)' = n x^{n-1}$.
• Производная константы: $(c)' = 0$.

Применяя эти правила, получаем:

$y' = (2x^2 - 1)' = (2x^2)' - (1)' = 2 \cdot (x^2)' - 0 = 2 \cdot (2x) = 4x$.

Ответ: $y' = 4x$.

2) Для нахождения производной функции $y = x - x^3$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и правилом для производной степенной функции.

$y' = (x - x^3)' = (x)' - (x^3)'$.

Находим производные каждого слагаемого, используя формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Таким образом, производная функции равна:

$y' = 1 - 3x^2$.

Ответ: $y' = 1 - 3x^2$.

3) Для нахождения производной функции $y = x^5 - \frac{1}{x}$ представим второе слагаемое в виде степени:

$y = x^5 - x^{-1}$.

Теперь применим правило дифференцирования разности и правило для производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$y' = (x^5 - x^{-1})' = (x^5)' - (x^{-1})'$.

Находим производные:

$(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Подставляем полученные значения обратно:

$y' = 5x^4 - (-\frac{1}{x^2}) = 5x^4 + \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = 5x^4 + \frac{1}{x^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sin x}{x}$ используем правило дифференцирования частного (дроби):

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$.

Находим производные функций $u$ и $v$:

$u' = (\sin x)' = \cos x$.

$v' = (x)' = 1$.

Подставляем все в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.