Номер 1468, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1468, страница 419.

Условие.

1468 Дана функция $y = -2x^2 + 3x + 2$.

1) Построить её график и найти значения $x$, при которых $y(x) < 0$.

2) Доказать, что функция убывает на отрезке $[1; 2]$.

3) Найти значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение.

4) Найти значения $x$, при которых график данной функции лежит ниже графика функции $y = 3x + 2$.

5) Записать уравнения касательных к параболе $y = -2x^2 + 3x + 2$ в точках с ординатой, равной 3.

Решение 1.

Решение 7.

Решение 8.

Дана функция $y = -2x^2 + 3x + 2$.

1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.

Графиком функции является парабола. Для её построения найдём ключевые параметры:

• Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$
  $y_в = y(x_в) = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) + 2 = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} + 2 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{16}{8} = \frac{25}{8} = 3.125$
  Вершина находится в точке $(0.75; 3.125)$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$):
    $y(0) = -2(0)^2 + 3(0) + 2 = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
  • С осью Ox (при $y=0$):
    $-2x^2 + 3x + 2 = 0$
    $2x^2 - 3x - 2 = 0$
    Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
    $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$
    $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
    Точки пересечения $(-0.5; 0)$ и $(2; 0)$.

На основе этих данных можно построить график параболы.

Теперь найдём значения $x$, при которых $y(x) < 0$. Это соответствует неравенству:

$-2x^2 + 3x + 2 < 0$

Мы уже нашли корни уравнения $-2x^2 + 3x + 2 = 0$: $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, $y(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -0.5) \cup (2; \infty)$.

Ответ: значения $x$, при которых $y(x) < 0$, принадлежат объединению интервалов $(-\infty; -0.5) \cup (2; \infty)$.

2) Доказать, что функция убывает на отрезке [1; 2].

Для исследования функции на монотонность найдём её производную:

$y'(x) = (-2x^2 + 3x + 2)' = -4x + 3$

Функция убывает на интервале, где её производная отрицательна, то есть $y'(x) < 0$.

$-4x + 3 < 0$

$-4x < -3$

$4x > 3$

$x > \frac{3}{4}$

Производная отрицательна при $x > 0.75$. Отрезок $[1; 2]$ полностью входит в этот интервал, так как для любого $x \in [1; 2]$ выполняется условие $x > 0.75$. Следовательно, на отрезке $[1; 2]$ производная функции отрицательна, а сама функция убывает. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

3) Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее значение.

Функция $y = -2x^2 + 3x + 2$ является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом ($a=-2 < 0$), поэтому её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4}$

Ответ: функция принимает наибольшее значение при $x = \frac{3}{4}$.

4) Найти значения x, при которых график данной функции лежит ниже графика функции y = 3x + 2.

Условие "график функции $y = -2x^2 + 3x + 2$ лежит ниже графика функции $y = 3x + 2$" записывается в виде неравенства:

$-2x^2 + 3x + 2 < 3x + 2$

Перенесём все члены в левую часть:

$-2x^2 + 3x - 3x + 2 - 2 < 0$

$-2x^2 < 0$

Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

5) Записать уравнения касательных к параболе y = -2x² + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.

Сначала найдём абсциссы точек параболы, в которых ордината $y=3$.

$-2x^2 + 3x + 2 = 3$

$-2x^2 + 3x - 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.

$x_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, у нас есть две точки касания: $(\frac{1}{2}; 3)$ и $(1; 3)$.

Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид $y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.

Производная функции: $y'(x) = -4x + 3$.

Для первой точки касания $x_0 = \frac{1}{2}$:

Значение производной (угловой коэффициент касательной): $y'(\frac{1}{2}) = -4(\frac{1}{2}) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Уравнение касательной:

$y = 3 + 1(x - \frac{1}{2})$

$y = x + 3 - \frac{1}{2}$

$y = x + \frac{5}{2}$

Для второй точки касания $x_0 = 1$:

Значение производной: $y'(1) = -4(1) + 3 = -1$.

Уравнение касательной:

$y = 3 + (-1)(x - 1)$

$y = 3 - x + 1$

$y = -x + 4$

Ответ: уравнения касательных: $y = x + \frac{5}{2}$ и $y = -x + 4$.