Номер 1470, страница 419 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1470, страница 419.

Условие.

Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной (1470—1472).

1470 1) $y = 2^x + 2^{-x}$; 2) $y = 3^x - 3^{-x}$;

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$; 4) $y = \ln \left|\frac{5+x}{5-x}\right|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение следующих условий для функции $y = f(x)$:

• Функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
• Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

1) $y = 2^x + 2^{-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для любого действительного $x$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = 2^{-x} + 2^x = 2^x + 2^{-x} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.

2) $y = 3^x - 3^{-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = 3^x - 3^{-x}$.
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = 3^{-x} - 3^{-(-x)} = 3^{-x} - 3^x$.
3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(3^x - 3^{-x}) = -3^x + 3^{-x} = 3^{-x} - 3^x$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \ln \frac{3+x}{3-x}$.
1. Найдем область определения. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$\frac{3+x}{3-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -3$ и $x = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Проверив знаки в каждом интервале, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-3; 3)$.
Область определения $D(f) = (-3; 3)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \ln \frac{3+(-x)}{3-(-x)} = \ln \frac{3-x}{3+x}$.
3. Используем свойство логарифма $\ln \frac{a}{b} = -\ln \frac{b}{a}$:
$f(-x) = \ln \frac{3-x}{3+x} = \ln \left( \left( \frac{3+x}{3-x} \right)^{-1} \right) = -1 \cdot \ln \frac{3+x}{3-x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

4) $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$

Обозначим функцию как $f(x) = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$.
1. Найдем область определения из условия $\frac{5+x}{5-x} > 0$.
Аналогично предыдущему пункту, решая неравенство, получаем область определения $D(f) = (-5; 5)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \left| \ln \frac{5+(-x)}{5-(-x)} \right| = \left| \ln \frac{5-x}{5+x} \right|$.
3. Используем свойство логарифма $\ln \frac{a}{b} = -\ln \frac{b}{a}$ и свойство модуля $|-a| = |a|$:
$f(-x) = \left| \ln \frac{5-x}{5+x} \right| = \left| -\ln \frac{5+x}{5-x} \right| = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right| = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.