Номер 1463, страница 418 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1463, страница 418.

Условие.

1463 Доказать, что функция $y = 2x - 3$ возрастает.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что функция $y = 2x - 3$ возрастает, можно использовать два основных способа: по определению возрастающей функции или с помощью производной.

Способ 1: Доказательство по определению

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.
Областью определения данной функции является вся числовая прямая, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$, такие что $x_2 > x_1$.
Найдем соответствующие им значения функции:
$y_1 = 2x_1 - 3$
$y_2 = 2x_2 - 3$
Теперь найдем разность этих значений:
$y_2 - y_1 = (2x_2 - 3) - (2x_1 - 3) = 2x_2 - 3 - 2x_1 + 3 = 2x_2 - 2x_1 = 2(x_2 - x_1)$.
По нашему первоначальному условию, $x_2 > x_1$, следовательно, разность $x_2 - x_1$ является положительным числом, то есть $x_2 - x_1 > 0$.
Произведение положительного числа $2$ на положительное число $(x_2 - x_1)$ также будет положительным: $2(x_2 - x_1) > 0$.
Таким образом, мы получили, что $y_2 - y_1 > 0$, откуда следует, что $y_2 > y_1$.
Поскольку для любого большего значения аргумента $x_2$ значение функции $y_2$ также оказывается больше, функция $y = 2x - 3$ является возрастающей на всей своей области определения.
Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.

Способ 2: Доказательство с помощью производной

Функция является возрастающей на том промежутке, где ее производная положительна ($y' > 0$).
Найдем производную функции $y = 2x - 3$.
Используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных, производная от $kx$ равна $k$, а производная константы равна нулю.
$y' = (2x - 3)' = (2x)' - (3)' = 2 - 0 = 2$.
Производная функции равна $y' = 2$.
Так как производная $y' = 2$ является положительным числом ($2 > 0$) для любого значения $x$, то функция $y = 2x - 3$ возрастает на всей своей области определения.
Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.