Номер 1458, страница 418 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1458, страница 418.

Условие.

1458 Линейная функция задана формулой $y = -\frac{3}{4}x+2$. Найти:

1) точки $A$ и $B$ пересечения её графика с осями координат;

2) длину отрезка $AB$;

3) расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x+2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Дана линейная функция $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

1) точки А и В пересечения её графика с осями координат;

Точка пересечения графика с осью ординат (осью $Oy$) имеет абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти ординату точки:
$y = -\frac{3}{4} \cdot 0 + 2 = 2$.
Следовательно, одна из точек пересечения имеет координаты $(0, 2)$. Обозначим эту точку как $B$.

Точка пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$) имеет ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение и найдем абсциссу точки:
$0 = -\frac{3}{4}x + 2$
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:
$\frac{3}{4}x = 2$
$x = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(\frac{8}{3}, 0)$. Обозначим эту точку как $A$.

Ответ: $A(\frac{8}{3}, 0)$, $B(0, 2)$.

2) длину отрезка AB;

Длину отрезка $AB$ найдем по формуле расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$:
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.
Подставим координаты точек $A(\frac{8}{3}, 0)$ и $B(0, 2)$:
$AB = \sqrt{(0 - \frac{8}{3})^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + 4}$.
Приведем слагаемые под корнем к общему знаменателю:
$AB = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{36}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$.

3) расстояние от начала координат до прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

Сначала приведем уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$.
$y = -\frac{3}{4}x + 2$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4y = -3x + 8$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$3x + 4y - 8 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты $A=3$, $B=4$, $C=-8$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
Начало координат — это точка $O(0, 0)$, поэтому $x_0=0$ и $y_0=0$.
Подставляем значения в формулу:
$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}$.