Номер 1452, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1452, страница 417.

Условие.

1452 В треугольнике, площадь которого равна $12 \text{ см}^2$, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $S_1$ — площадь исходного треугольника. По условию задачи, $S_1 = 12 \text{ см}^2$.

Второй треугольник образуется соединением середин сторон первого треугольника. Отрезки, соединяющие середины сторон, являются средними линиями. Новый треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон. Поскольку средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь второго треугольника, $S_2$, составляет: $S_2 = k^2 \cdot S_1 = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_1 = \frac{1}{4}S_1$.

Процесс построения треугольников продолжается: в каждом новом треугольнике соединяются середины его сторон, образуя следующий, еще меньший треугольник. Таким образом, площадь каждого следующего треугольника будет в 4 раза меньше площади предыдущего. Площадь третьего треугольника: $S_3 = \frac{1}{4}S_2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{4}S_1) = (\frac{1}{4})^2 S_1$. Площадь n-го треугольника: $S_n = S_1 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$.

Площади всех полученных треугольников образуют последовательность: $S_1, S_2, S_3, \dots$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой $b_1 = S_1 = 12$, а знаменатель $q = \frac{1}{4}$.

Чтобы найти сумму площадей всех этих треугольников, мы используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$, которая применима, так как $|q| = |\frac{1}{4}| < 1$.

Подставляем наши значения в формулу: $S = \frac{12}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 16$.

Следовательно, сумма площадей всех треугольников, получающихся таким построением, равна 16 см².

Ответ: 16 см².