Номер 1450, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1450, страница 417.

Условие.

1450 Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Тогда $n$-й член прогрессии задается формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q \neq 1$, и $S_n = n b_1$ при $q = 1$. По условию, сумма первых пяти членов равна 62, то есть $S_5 = 62$.

Обозначим члены арифметической прогрессии как $a_k$. По условию, пятый, восьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии являются соответственно первым, вторым и десятым членами некоторой арифметической прогрессии. Запишем это в виде системы равенств:
$a_1 = b_5 = b_1 q^4$
$a_2 = b_8 = b_1 q^7$
$a_{10} = b_{11} = b_1 q^{10}$

Для любой арифметической прогрессии справедливо свойство, что разность между ее членами пропорциональна разности их номеров: $\frac{a_m - a_k}{m - k} = d$, где $d$ — разность прогрессии. Для членов $a_1, a_2, a_{10}$ получаем: $\frac{a_2 - a_1}{2 - 1} = \frac{a_{10} - a_1}{10 - 1}$. Отсюда следует, что $a_2 - a_1 = \frac{a_{10} - a_1}{9}$, или $9(a_2 - a_1) = a_{10} - a_1$.

Подставим в это равенство соответствующие члены геометрической прогрессии:
$9(b_8 - b_5) = b_{11} - b_5$
$9(b_1 q^7 - b_1 q^4) = b_1 q^{10} - b_1 q^4$
Вынесем общие множители за скобки:
$9 b_1 q^4 (q^3 - 1) = b_1 q^4 (q^6 - 1)$
Перенесем все в левую часть и сгруппируем:
$b_1 q^4 [9(q^3 - 1) - (q^6 - 1)] = 0$
Так как $S_5=62$, то $b_1 \neq 0$. Следовательно, мы можем рассмотреть два варианта, при которых уравнение обращается в ноль.

Первый вариант: $q^4 = 0$, что означает $q=0$. Если знаменатель геометрической прогрессии $q=0$, то прогрессия имеет вид $b_1, 0, 0, 0, \ldots$. Сумма первых пяти членов: $S_5 = b_1 + 0 + 0 + 0 + 0 = b_1$. По условию $S_5 = 62$, значит $b_1 = 62$. Проверим второе условие: $b_5 = b_1 q^4 = 62 \cdot 0^4 = 0$, $b_8 = b_1 q^7 = 0$, $b_{11} = b_1 q^{10} = 0$. Члены арифметической прогрессии: $a_1=0, a_2=0, a_{10}=0$. Это является арифметической прогрессией с разностью $d=0$. Таким образом, $b_1=62$ является одним из решений задачи.

Второй вариант: $9(q^3 - 1) - (q^6 - 1) = 0$. Разложим $q^6 - 1$ как разность квадратов: $q^6 - 1 = (q^3)^2 - 1^2 = (q^3 - 1)(q^3 + 1)$. Подставим в уравнение:
$9(q^3 - 1) - (q^3 - 1)(q^3 + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(q^3-1)$:
$(q^3 - 1)[9 - (q^3 + 1)] = 0$
$(q^3 - 1)(8 - q^3) = 0$
Это уравнение дает еще два возможных значения для $q$: $q=1$ и $q=2$.

Рассмотрим эти два случая. Если $q=1$, то все члены геометрической прогрессии равны $b_1$. Сумма первых пяти членов: $S_5 = 5b_1$. По условию $5b_1 = 62$, откуда $b_1 = \frac{62}{5} = 12.4$. Проверим второе условие: $b_5 = 12.4, b_8 = 12.4, b_{11} = 12.4$. Члены арифметической прогрессии: $a_1=12.4, a_2=12.4, a_{10}=12.4$. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=0$. Следовательно, $b_1 = 12.4$ также является решением.

Если $q=2$, используем формулу суммы для $q \neq 1$: $S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{b_1(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{b_1(31)}{1} = 31b_1$. По условию $31b_1 = 62$, откуда $b_1=2$. Проверим второе условие для $b_1=2$ и $q=2$: $b_5 = b_1 q^4 = 2 \cdot 2^4 = 32$; $b_8 = b_1 q^7 = 2 \cdot 2^7 = 256$; $b_{11} = b_1 q^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2048$. Члены арифметической прогрессии: $a_1=32, a_2=256, a_{10}=2048$. Найдем разность $d = a_2 - a_1 = 256 - 32 = 224$. Проверим десятый член: $a_{10} = a_1 + 9d = 32 + 9 \cdot 224 = 32 + 2016 = 2048$. Значение совпадает. Следовательно, $b_1=2$ также является решением.

Таким образом, задача имеет три возможных решения для первого члена геометрической прогрессии.

Ответ: 2; 12,4; 62.