Номер 1446, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1446, страница 417.

Условие.

1446 Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов меньше?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $n_1$ — это количество шагов, которое делает ученик, а $l_1$ — длина его шага в сантиметрах. Тогда $n_2$ — это количество шагов старшего брата, а $l_2$ — длина его шага в сантиметрах.

Общее расстояние от дома до школы составляет $S = 700$ м. Для удобства вычислений переведем это расстояние в сантиметры, так как разница в длине шагов дана в сантиметрах:
$S = 700 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 70000 \text{ см}$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие соотношения:

• Старший брат делает на 400 шагов меньше: $n_2 = n_1 - 400$.
• Шаг старшего брата на 20 см длиннее: $l_2 = l_1 + 20$.

Расстояние, которое проходят ученик и его брат, можно выразить через количество шагов и их длину:
$S = n_1 \times l_1 = 70000$ (для ученика)
$S = n_2 \times l_2 = 70000$ (для брата)

Из первого уравнения выразим длину шага ученика: $l_1 = \frac{70000}{n_1}$.

Теперь подставим выражения для $n_2$ и $l_2$ во второе уравнение:
$(n_1 - 400) \times (l_1 + 20) = 70000$.

В полученное уравнение подставим выражение для $l_1$:
$(n_1 - 400) \times \left(\frac{70000}{n_1} + 20\right) = 70000$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$n_1 \cdot \frac{70000}{n_1} + n_1 \cdot 20 - 400 \cdot \frac{70000}{n_1} - 400 \cdot 20 = 70000$
$70000 + 20n_1 - \frac{28000000}{n_1} - 8000 = 70000$

Упростим уравнение, вычтя 70000 из обеих частей:
$20n_1 - \frac{28000000}{n_1} - 8000 = 0$

Умножим все члены уравнения на $n_1$ (поскольку количество шагов не может быть равно нулю, $n_1 \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:
$20n_1^2 - 28000000 - 8000n_1 = 0$

Запишем это как стандартное квадратное уравнение и разделим на 20 для упрощения:
$20n_1^2 - 8000n_1 - 28000000 = 0 \quad | :20$
$n_1^2 - 400n_1 - 1400000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-400)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1400000) = 160000 + 5600000 = 5760000$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5760000} = 2400$.

Теперь найдем возможные значения для $n_1$:
$n_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{400 \pm 2400}{2}$
Первый корень: $n_{1,1} = \frac{400 + 2400}{2} = \frac{2800}{2} = 1400$.
Второй корень: $n_{1,2} = \frac{400 - 2400}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000$.

Поскольку количество шагов не может быть отрицательной величиной, единственное подходящее решение — это $n_1 = 1400$.

Ответ: Ученик делает 1400 шагов.