Номер 1440, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1440, страница 416.

Условие.

1440 Сумма трёх чисел равна 1. Разность первого и второго чисел равна третьему числу. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа. Найти эти числа.

Пусть три числа будут $x$, $y$, $z$.

По условию:

$x + y + z = 1$

$x - y = z$

$x + y = 5z$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим три искомых числа как $x$ (первое), $y$ (второе) и $z$ (третье).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма трёх чисел равна 1: $x + y + z = 1$
2. Разность первого и второго чисел равна третьему числу: $x - y = z$
3. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа: $x + y = 5z$

Получаем следующую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 1 & (1) \\ x - y = z & (2) \\ x + y = 5z & (3) \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для суммы $(x + y)$ из уравнения (3) в уравнение (1):

$(5z) + z = 1$

$6z = 1$

$z = \frac{1}{6}$

Мы нашли третье число. Теперь подставим значение $z = \frac{1}{6}$ в уравнения (2) и (3), чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x - y = \frac{1}{6} & (A) \\ x + y = 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6} & (B) \end{cases} $

Сложим уравнение (A) и уравнение (B) для того, чтобы найти $x$:

$(x - y) + (x + y) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6}$

$2x = \frac{6}{6}$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Мы нашли первое число. Теперь подставим значение $x = \frac{1}{2}$ в уравнение (B), чтобы найти $y$:

$\frac{1}{2} + y = \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$y = \frac{5}{6} - \frac{3}{6}$

$y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Мы нашли второе число.

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа всем условиям задачи:

• Сумма чисел: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Условие выполнено.
• Разность первого и второго: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. Равна третьему числу. Условие выполнено.
• Сумма первых двух: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. Эта сумма в 5 раз больше третьего числа: $5 \cdot z = 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Условие выполнено.

Ответ: искомые числа – это $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$.