Номер 1434, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1434, страница 416.

Условие.

1434 Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движущемуся за 45 с. За какое время поднимает эскалатор неподвижно стоящего на нём пассажира?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $L$ — длина эскалатора.
• $v_п$ — скорость пассажира относительно эскалатора (скорость, с которой он идет по ступеням).
• $v_э$ — скорость эскалатора относительно земли.
• $t_1$ — время подъема пассажира по неподвижному эскалатору.
• $t_2$ — время подъема пассажира по движущемуся эскалатору.
• $t_э$ — искомое время, за которое эскалатор поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира.

Из условия задачи нам известно:

• $t_1 = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 = 180 \text{ с}$
• $t_2 = 45 \text{ с}$

Рассмотрим три ситуации и составим для каждой соответствующее уравнение.

1. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору.
В этом случае пассажир преодолевает расстояние $L$ только за счет собственной скорости $v_п$. Скорость эскалатора равна нулю.
$L = v_п \cdot t_1$
Отсюда можно выразить скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{t_1}$.

2. Пассажир поднимается по движущемуся эскалатору.
В этом случае скорости пассажира и эскалатора складываются, так как они движутся в одном направлении. Суммарная скорость равна $v_п + v_э$.
$L = (v_п + v_э) \cdot t_2$
Отсюда суммарная скорость: $v_п + v_э = \frac{L}{t_2}$.

3. Эскалатор поднимает неподвижного пассажира.
В этом случае пассажир стоит на месте, и его скорость относительно эскалатора равна нулю. Он поднимается только за счет скорости эскалатора $v_э$.
$L = v_э \cdot t_э$
Отсюда можно выразить скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_э}$.

Теперь подставим выражения для $v_п$ и $v_э$ из первого и третьего случаев в уравнение для второго случая:
$\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_э} = \frac{L}{t_2}$

Поскольку длина эскалатора $L$ не равна нулю, мы можем разделить все члены уравнения на $L$:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_э} = \frac{1}{t_2}$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{t_э}$:

$\frac{1}{t_э} = \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1}$

Подставим известные значения $t_1 = 180 \text{ с}$ и $t_2 = 45 \text{ с}$:

$\frac{1}{t_э} = \frac{1}{45} - \frac{1}{180}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 180:

$\frac{1}{t_э} = \frac{1 \cdot 4}{45 \cdot 4} - \frac{1}{180} = \frac{4}{180} - \frac{1}{180}$

$\frac{1}{t_э} = \frac{3}{180}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{1}{t_э} = \frac{1}{60}$

Отсюда находим искомое время $t_э$:

$t_э = 60 \text{ с}$

60 секунд также можно выразить в минутах: $60 \text{ с} = 1 \text{ мин}$.

Ответ: эскалатор поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира за 60 секунд (или 1 минуту).