Номер 1427, страница 415 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1427, страница 415.

Условие.

1427 1) $\begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^4 = 16, \\ \log_2 x + 2 \log_2 y = 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0. \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из логарифмического уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $\log_4 x - \log_2 y = 0$.

Приведем логарифм по основанию 4 к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$$ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ \frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 y = 0 $$

$$ \frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 y $$

Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$$ \log_2 x^{1/2} = \log_2 y $$

$$ \log_2 \sqrt{x} = \log_2 y $$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$$ \sqrt{x} = y $$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы $x^2 - 5y^2 + 4 = 0$:

$$ x^2 - 5(\sqrt{x})^2 + 4 = 0 $$

$$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно 4. Следовательно, корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x > 0$).

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \sqrt{x}$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \sqrt{1} = 1$. Пара $(1, 1)$ является решением, так как удовлетворяет ОДЗ ($y_1 > 0$).

2. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Пара $(4, 2)$ является решением, так как удовлетворяет ОДЗ ($y_2 > 0$).

Ответ: $(1, 1), (4, 2)$.

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^4 = 16, \\ \log_2 x + 2\log_2 y = 3. \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов:

$$ \log_2 x + \log_2 y^2 = 3 $$

$$ \log_2 (x y^2) = 3 $$

По определению логарифма:

$$ x y^2 = 2^3 $$

$$ x y^2 = 8 $$

Выразим $x$ через $y$ (так как $y > 0$, то $y^2 \neq 0$):

$$ x = \frac{8}{y^2} $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы $x^2 + y^4 = 16$:

$$ \left(\frac{8}{y^2}\right)^2 + y^4 = 16 $$

$$ \frac{64}{y^4} + y^4 = 16 $$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = y^4$. Так как $y > 0$, то $t > 0$.

$$ \frac{64}{t} + t = 16 $$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$$ 64 + t^2 = 16t $$

$$ t^2 - 16t + 64 = 0 $$

Это формула полного квадрата разности:

$$ (t-8)^2 = 0 $$

Отсюда $t = 8$.

Вернемся к замене:

$$ y^4 = 8 $$

$$ y = \sqrt[4]{8} $$

Мы берем только положительный корень, так как по ОДЗ $y > 0$.

Теперь найдем $x$, используя выражение $x = \frac{8}{y^2}$.

Сначала найдем $y^2$: $y^2 = \sqrt{y^4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$$ x = \frac{8}{y^2} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$

Полученная пара $(2\sqrt{2}, \sqrt[4]{8})$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$, $y > 0$).

Ответ: $(2\sqrt{2}, \sqrt[4]{8})$.