Номер 1421, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1421, страница 414.

Условие.

Решить систему уравнений (1421–1422).

1421 1) $\begin{cases} 5x - 7y = 3, \\ 6x + 5y = 17; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - y - 13 = 0, \\ x + 2y + 1 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 7y = 3 \\ 6x + 5y = 17 \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 7, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами.

$\begin{cases} 5 \cdot (5x - 7y) = 5 \cdot 3 \\ 7 \cdot (6x + 5y) = 7 \cdot 17 \end{cases}$

$\begin{cases} 25x - 35y = 15 \\ 42x + 35y = 119 \end{cases}$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(25x - 35y) + (42x + 35y) = 15 + 119$

$67x = 134$

Найдем x:

$x = \frac{134}{67}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в первое исходное уравнение $5x - 7y = 3$ для нахождения y:

$5 \cdot 2 - 7y = 3$

$10 - 7y = 3$

$-7y = 3 - 10$

$-7y = -7$

$y = 1$

Проверим полученное решение $(2; 1)$ подстановкой во второе уравнение $6x + 5y = 17$:

$6 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 12 + 5 = 17$

$17 = 17$. Равенство верное.

Ответ: $x=2, y=1$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y - 13 = 0 \\ x + 2y + 1 = 0 \end{cases}$

Для удобства приведем уравнения к стандартному виду $ax + by = c$:

$\begin{cases} 2x - y = 13 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 2x - 13$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы $x + 2y = -1$:

$x + 2(2x - 13) = -1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x + 4x - 26 = -1$

$5x = 26 - 1$

$5x = 25$

$x = 5$

Теперь найдем значение y, подставив $x=5$ в выражение $y = 2x - 13$:

$y = 2 \cdot 5 - 13$

$y = 10 - 13$

$y = -3$

Проверим полученное решение $(5; -3)$ подстановкой в исходные уравнения.

Первое уравнение: $2(5) - (-3) - 13 = 10 + 3 - 13 = 0$. Равенство верное.

Второе уравнение: $5 + 2(-3) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $x=5, y=-3$.