Номер 1418, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1418, страница 414.

Условие.

Доказать неравенство (1418—1420).

1418 1) $ab \le \frac{a^2 + b^2}{2}$;

2) $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$, если $a > 0, b > 0, a \neq b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы доказать неравенство $ab \le \frac{a^2 + b^2}{2}$, выполним равносильные преобразования, приводя его к очевидно истинному выражению.

Умножим обе части неравенства на 2:
$2ab \le a^2 + b^2$

Перенесем $2ab$ в правую часть:
$0 \le a^2 - 2ab + b^2$

Правая часть является формулой полного квадрата разности:
$0 \le (a - b)^2$

Полученное неравенство $(a - b)^2 \ge 0$ истинно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все наши преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается, когда $(a - b)^2 = 0$, то есть при $a = b$.

Ответ: Доказано.

2)

Докажем неравенство $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left(\frac{a + b}{2}\right)^3$ при условиях $a > 0$, $b > 0$, $a \ne b$.

Выполним равносильные преобразования данного неравенства.
$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{(a + b)^3}{8}$

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от знаменателей:
$4(a^3 + b^3) > (a + b)^3$

Раскроем скобки в обеих частях, используя формулу суммы в кубе $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:
$4a^3 + 4b^3 > a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$(4a^3 - a^3) + (4b^3 - b^3) - 3a^2b - 3ab^2 > 0$
$3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 > 0$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не изменится):
$a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 > 0$

Сгруппируем члены и разложим левую часть на множители:
$a^2(a - b) - b^2(a - b) > 0$
$(a^2 - b^2)(a - b) > 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(a - b)(a + b)(a - b) > 0$
$(a - b)^2(a + b) > 0$

Проанализируем полученное неравенство с учетом заданных условий: $a > 0$, $b > 0$ и $a \ne b$.
1. Так как по условию $a \ne b$, разность $(a - b)$ не равна нулю. Следовательно, ее квадрат $(a - b)^2$ всегда будет строго положительным: $(a - b)^2 > 0$.
2. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, их сумма $(a + b)$ также будет строго положительной: $a + b > 0$.
3. Произведение двух строго положительных величин $(a - b)^2$ и $(a + b)$ является строго положительным.

Таким образом, неравенство $(a - b)^2(a + b) > 0$ является истинным. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при заданных условиях.

Ответ: Доказано.