Номер 1415, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1415, страница 414.

Условие.

1415 1) $\cos (-3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos(-3x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$\cos(3x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид:

$\cos(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдем на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Соответствующее уравнение $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решения $t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решение неравенства для $t$ будет выглядеть так:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 3x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 3, чтобы выразить $x$:

$\frac{-\frac{\pi}{6}}{3} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{\frac{\pi}{6}}{3} + \frac{2\pi k}{3}$

$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) < -\frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид:

$\cos(t) < -\frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдем на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше $-\frac{1}{2}$.

Граничные точки определяются уравнением $\cos(t) = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения: $t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значения $t$, удовлетворяющие неравенству $\cos(t) < -\frac{1}{2}$, лежат на дуге между $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Следовательно, решение неравенства для $t$ будет выглядеть так:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 2x - \frac{\pi}{3}$:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$\pi + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.