Номер 1420, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1420, страница 414.

Условие.

1420 1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$;

2) $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a (b + c)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для трех положительных чисел. По условию $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, следовательно, числа $\frac{a}{b}$, $\frac{b}{c}$ и $\frac{c}{a}$ также являются положительными.

Неравенство Коши для трех положительных чисел $x, y, z$ гласит, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:$$ \frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} $$

Применим это неравенство для $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{b}{c}$ и $z = \frac{c}{a}$:$$ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} $$

Найдем значение произведения под корнем в правой части:$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{abc}{bca} = 1 $$

Подставим это значение обратно в неравенство Коши:$$ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{1} $$$$ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge 1 $$

Умножив обе части неравенства на 3, получим исходное неравенство:$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3 $$Что и требовалось доказать. Равенство достигается в том случае, когда слагаемые равны, то есть $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$, что выполняется при $a = b = c$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены из правой части в левую:$$ 2a^2 + b^2 + c^2 - 2a(b+c) \ge 0 $$

Раскроем скобки:$$ 2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac \ge 0 $$

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим $2a^2$ в виде суммы $a^2 + a^2$:$$ (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) \ge 0 $$

Выражения в скобках являются формулами квадрата разности:$$ (a-b)^2 + (a-c)^2 \ge 0 $$

Полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a, b, c$, так как квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная ($(a-b)^2 \ge 0$ и $(a-c)^2 \ge 0$), и сумма двух неотрицательных величин также неотрицательна. Равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю, то есть когда $a-b=0$ и $a-c=0$, что эквивалентно $a=b=c$.

Ответ: Неравенство доказано.