Номер 1423, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1423, страница 414.

Условие.

Найти действительные решения системы уравнений (1423—1425).

1423 1) $\begin{cases} y + 5 = x^2, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 16, \\ \frac{x}{y} = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96, \\ x = 2y. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 5 = x^2 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения уже выражено $x^2$. Подставим выражение $x^2 = y + 5$ во второе уравнение системы:

$(y + 5) + y^2 = 25$

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + y + 5 - 25 = 0$

$y^2 + y - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-20$. Этим условиям удовлетворяют числа $4$ и $-5$.

Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 4$

$y_2 = -5$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя уравнение $x^2 = y + 5$.

Если $y = 4$:

$x^2 = 4 + 5 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_{1,2} = \pm3$

Таким образом, мы получили две пары решений: $(3, 4)$ и $(-3, 4)$.

Если $y = -5$:

$x^2 = -5 + 5 = 0$

$x_3 = 0$

Таким образом, мы получили еще одну пару решений: $(0, -5)$.

Система имеет три действительных решения.

Ответ: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(0, -5)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = 16 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $y \neq 0$. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 4y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(4y) \cdot y = 16$

$4y^2 = 16$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y^2 = 4$

Отсюда находим возможные значения для $y$:

$y = \pm\sqrt{4}$

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя соотношение $x = 4y$.

Если $y_1 = 2$:

$x_1 = 4 \cdot 2 = 8$

Получаем решение $(8, 2)$.

Если $y_2 = -2$:

$x_2 = 4 \cdot (-2) = -8$

Получаем решение $(-8, -2)$.

Ответ: $(8, 2)$, $(-8, -2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96 \\ x = 2y \end{cases}$

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(2y)^2 + 2y^2 = 96$

Возведем в квадрат и упростим полученное уравнение:

$4y^2 + 2y^2 = 96$

$6y^2 = 96$

Найдем $y^2$, разделив обе части на 6:

$y^2 = \frac{96}{6}$

$y^2 = 16$

Находим возможные значения $y$:

$y = \pm\sqrt{16}$

$y_1 = 4$ и $y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = 2y$.

Если $y_1 = 4$:

$x_1 = 2 \cdot 4 = 8$

Получаем решение $(8, 4)$.

Если $y_2 = -4$:

$x_2 = 2 \cdot (-4) = -8$

Получаем решение $(-8, -4)$.

Ответ: $(8, 4)$, $(-8, -4)$.