Номер 1416, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1416, страница 414.

Условие.

1416 С помощью графика решить неравенство:

1) $\sin x < \frac{1}{4}$;

2) $\sin x > -\frac{1}{4}$;

3) $\operatorname{tg} x - 3 \le 0$;

4) $\cos x > \frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin x < \frac{1}{4}$

Для решения неравенства графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ (синусоида) и $y = \frac{1}{4}$ (горизонтальная прямая).

Решением неравенства будут являться те значения $x$, для которых точки графика функции $y = \sin x$ лежат ниже прямой $y = \frac{1}{4}$.

Сначала найдем абсциссы точек пересечения этих графиков. Для этого решим уравнение:

$\sin x = \frac{1}{4}$

Все корни этого уравнения описываются двумя сериями:

$x_1 = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим график. Синусоида находится ниже прямой $y = \frac{1}{4}$ на интервалах, которые начинаются после "вершины" волны и заканчиваются перед следующей "вершиной". Возьмем один такой интервал. Он начинается в точке $x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$ и заканчивается в точке $x = 2\pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$. Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), все решения можно описать как объединение интервалов.

Более удобная форма записи общего решения получается, если рассмотреть интервал, начинающийся с точки $-\pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$ и заканчивающийся в точке $\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Таким образом, общее решение неравенства:

$-\pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k < x < \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k; \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x > -\frac{1}{4}$

Построим графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{1}{4}$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график синуса расположен выше прямой $y = -\frac{1}{4}$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $\sin x = -\frac{1}{4}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k = -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x_2 = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Из графика видно, что синусоида находится выше прямой на интервале между точками пересечения, образующими "горб" волны. Для одного периода такой интервал начинается в точке $-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$ и заканчивается в точке $\pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Учитывая периодичность функции, общее решение неравенства:

$-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k < x < \pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k; \pi + \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\tg x - 3 \le 0$

Перепишем неравенство в виде $\tg x \le 3$.

Построим графики функций $y = \tg x$ и $y = 3$. График тангенса имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график тангенса лежит не выше прямой $y = 3$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $\tg x = 3$.

Корни уравнения: $x = \arctg(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (период тангенса равен $\pi$).

Рассмотрим одну ветвь графика тангенса, например, на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. На этом интервале функция $\tg x$ возрастает. Неравенство $\tg x \le 3$ выполняется для всех $x$ от левой асимптоты $x = -\frac{\pi}{2}$ до точки пересечения $x = \arctg(3)$ включительно.

Таким образом, решение для одной ветви: $-\frac{\pi}{2} < x \le \arctg(3)$.

Учитывая периодичность, общее решение:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \arctg(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \arctg(3) + \pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos x > \frac{1}{3}$

Построим графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{3}$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график косинуса расположен выше прямой $y = \frac{1}{3}$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $\cos x = \frac{1}{3}$.

Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, корни уравнения симметричны относительно оси OY:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из графика видно, что косинусоида находится выше прямой $y = \frac{1}{3}$ на интервалах, расположенных "вокруг" пиков волны. Рассмотрим интервал, симметричный относительно $x=0$. Точки пересечения здесь $x = -\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$ и $x = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Между этими точками выполняется неравенство $\cos x > \frac{1}{3}$.

Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), общее решение:

$-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k < x < \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k; \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.