Номер 1417, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1417, страница 414.

Условие.

1417 Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключённые в промежутке $[-3\pi; \pi]$:

1) $2 \cos x - \sqrt{3} < 0;$

2) $\sqrt{2} \sin x + 1 \ge 0;$

3) $\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \le 0;$

4) $3 \operatorname{tg} x - 2 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \cos x - \sqrt{3} < 0$

Сначала преобразуем данное неравенство:

$2 \cos x < \sqrt{3}$

$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого неравенства графически, рассмотрим график функции $y = \cos x$ и прямую $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график косинуса находится ниже этой прямой.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На одном периоде, например от $0$ до $2\pi$, неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Таким образом, общее решение неравенства имеет вид: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем решения, принадлежащие промежутку $[-3\pi; \pi]$. Для этого подставим различные целые значения $n$:

• При $n=0$: $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ дает интервал $(\frac{\pi}{6}, \pi]$.
• При $n=-1$: $(\frac{\pi}{6} - 2\pi, \frac{11\pi}{6} - 2\pi) = (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$. Этот интервал полностью входит в промежуток $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-2$: $(\frac{\pi}{6} - 4\pi, \frac{11\pi}{6} - 4\pi) = (-\frac{23\pi}{6}, -\frac{13\pi}{6})$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ дает интервал $[-3\pi, -\frac{13\pi}{6})$.

Объединяя найденные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-3\pi; -\frac{13\pi}{6}) \cup (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}; \pi]$.

2) $\sqrt{2} \sin x + 1 \ge 0$

Преобразуем неравенство:

$\sqrt{2} \sin x \ge -1$

$\sin x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Графически это означает, что мы ищем значения $x$, для которых график функции $y = \sin x$ расположен не ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеют общее решение $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

На одном периоде, например от $-\pi$ до $\pi$, неравенство $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на объединении промежутков $[-\pi, -\frac{3\pi}{4}] \cup [-\frac{\pi}{4}, \pi]$. Общее решение неравенства можно записать в виде $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, принадлежащие промежутку $[-3\pi; \pi]$:

• При $n=0$: $[-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ дает промежуток $[-\frac{\pi}{4}, \pi]$.
• При $n=-1$: $[-\frac{\pi}{4} - 2\pi, \frac{5\pi}{4} - 2\pi] = [-\frac{9\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}]$. Этот промежуток полностью входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-2$: $[-\frac{\pi}{4} - 4\pi, \frac{5\pi}{4} - 4\pi] = [-\frac{17\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}]$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ дает промежуток $[-3\pi, -\frac{11\pi}{4}]$.

Объединяя найденные промежутки, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-3\pi; -\frac{11\pi}{4}] \cup [-\frac{9\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}] \cup [-\frac{\pi}{4}; \pi]$.

3) $\sqrt{3} + \text{tg } x \le 0$

Преобразуем неравенство: $\text{tg } x \le -\sqrt{3}$.

Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим график функции $y = \text{tg } x$ и прямую $y = -\sqrt{3}$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график тангенса находится не выше этой прямой.

Решение уравнения $\text{tg } x = -\sqrt{3}$ есть $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Так как функция тангенса возрастает на каждом из своих интервалов непрерывности $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, то решение неравенства $\text{tg } x \le -\sqrt{3}$ на каждом таком интервале будет $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi n]$.

Найдем решения на промежутке $[-3\pi; \pi]$:

• При $n=1$: $(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=0$: $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-1$: $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-2$: $(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{7\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.

Объединяя найденные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -\frac{7\pi}{3}] \cup (-\frac{3\pi}{2}; -\frac{4\pi}{3}] \cup (-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}]$.

4) $3 \text{tg } x - 2 > 0$

Преобразуем неравенство: $\text{tg } x > \frac{2}{3}$.

Область определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решение этого неравенства — это значения $x$, при которых график $y=\text{tg } x$ лежит выше прямой $y=\frac{2}{3}$.

Решение уравнения $\text{tg } x = \frac{2}{3}$ есть $x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Обозначим $\alpha = \text{arctg}(\frac{2}{3})$.

Учитывая возрастание тангенса на интервалах непрерывности, общее решение неравенства имеет вид $x \in (\text{arctg}(\frac{2}{3}) + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Найдем решения, принадлежащие промежутку $[-3\pi; \pi]$:

• При $n=0$: $(\text{arctg}(\frac{2}{3}), \frac{\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-1$: $(\text{arctg}(\frac{2}{3}) - \pi, -\frac{\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-2$: $(\text{arctg}(\frac{2}{3}) - 2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $n=-3$: $(\text{arctg}(\frac{2}{3}) - 3\pi, -\frac{5\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.

Объединяя найденные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (\text{arctg}(\frac{2}{3}) - 3\pi; -\frac{5\pi}{2}) \cup (\text{arctg}(\frac{2}{3}) - 2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (\text{arctg}(\frac{2}{3}) - \pi; -\frac{\pi}{2}) \cup (\text{arctg}(\frac{2}{3}); \frac{\pi}{2})$.