Номер 1419, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1419, страница 414.

Условие.

1419 1) $(a + b)(ab + 1) \geq 4ab$, если $a > 0, b > 0;$

2) $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \neq b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Требуется доказать неравенство $(a + b)(ab + 1) \ge 4ab$ при $a > 0, b > 0$.

Для доказательства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $x$ и $y$ оно имеет вид $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$.

Применим это неравенство к паре положительных чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Отсюда следует, что $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

Теперь применим это же неравенство к паре положительных чисел $ab$ и $1$:

$\frac{ab+1}{2} \ge \sqrt{ab \cdot 1}$

Отсюда следует, что $ab+1 \ge 2\sqrt{ab}$.

Поскольку обе части полученных неравенств ($a+b \ge 2\sqrt{ab}$ и $ab+1 \ge 2\sqrt{ab}$) являются положительными, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(a+b)(ab+1) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{ab})$

Упростим правую часть:

$(a+b)(ab+1) \ge 4(\sqrt{ab})^2$

$(a+b)(ab+1) \ge 4ab$

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать неравенство $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$ при $a \ne b$.

Преобразуем данное неравенство. Сначала раскроем скобки в правой части:

$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4a^3b + 4ab^3$

Теперь перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:

$a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 > 0$

Выражение в левой части представляет собой разложение бинома Ньютона для $(a-b)^4$.

Вспомним формулу: $(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$.

Следовательно, наше неравенство можно переписать в виде:

$(a-b)^4 > 0$

Четвертая степень любого действительного числа всегда неотрицательна, то есть $(a-b)^4 \ge 0$. Равенство нулю достигается только тогда, когда основание степени равно нулю, то есть при $a-b = 0$ или $a=b$.

По условию задачи дано, что $a \ne b$, значит, разность $a-b$ не равна нулю. Следовательно, выражение $(a-b)^4$ всегда будет строго положительным числом.

Поскольку неравенство $(a-b)^4 > 0$ истинно для всех $a \ne b$, то и исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.