Номер 1422, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1422, страница 414.

Условие.

1422 1) $\begin{cases}\frac{x - y}{5} - \frac{x + y}{2} = 10, \\\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10;\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6, \\\frac{x + y}{4} - \frac{x - y}{3} = 0.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{2} = 10 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10 \end{cases} $$

Для решения системы упростим каждое уравнение, избавившись от дробей. Умножим обе части каждого уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2, то есть на 10.

Преобразуем первое уравнение:

$$ 10 \cdot \left(\frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{2}\right) = 10 \cdot 10 $$

$$ 2(x-y) - 5(x+y) = 100 $$

$$ 2x - 2y - 5x - 5y = 100 $$

$$ -3x - 7y = 100 $$

$$ 3x + 7y = -100 $$

Преобразуем второе уравнение:

$$ 10 \cdot \left(\frac{x}{5} + \frac{y}{2}\right) = 10 \cdot 10 $$

$$ 2x + 5y = 100 $$

Теперь система имеет более простой вид:

$$ \begin{cases} 3x + 7y = -100 \\ 2x + 5y = 100 \end{cases} $$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$$ \begin{cases} 2(3x + 7y) = 2(-100) \\ -3(2x + 5y) = -3(100) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 6x + 14y = -200 \\ -6x - 15y = -300 \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы:

$$ (6x + 14y) + (-6x - 15y) = -200 + (-300) $$

$$ -y = -500 $$

$$ y = 500 $$

Подставим найденное значение $y=500$ во второе упрощенное уравнение $2x + 5y = 100$:

$$ 2x + 5(500) = 100 $$

$$ 2x + 2500 = 100 $$

$$ 2x = 100 - 2500 $$

$$ 2x = -2400 $$

$$ x = -1200 $$

Ответ: $x = -1200, y = 500$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 0 \end{cases} $$

Начнем с упрощения второго уравнения системы:

$$ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 0 $$

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения:

$$ \frac{x+y}{4} = \frac{x-y}{3} $$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$$ 3(x+y) = 4(x-y) $$

Раскроем скобки:

$$ 3x + 3y = 4x - 4y $$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$$ 3y + 4y = 4x - 3x $$

$$ 7y = x $$

Теперь у нас есть выражение для $x$ через $y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$$ \frac{7y+y}{2} + \frac{7y-y}{3} = 6 $$

Выполним сложение в числителях:

$$ \frac{8y}{2} + \frac{6y}{3} = 6 $$

Сократим дроби:

$$ 4y + 2y = 6 $$

$$ 6y = 6 $$

$$ y = 1 $$

Теперь найдем $x$, используя ранее найденное соотношение $x=7y$:

$$ x = 7 \cdot 1 = 7 $$

Ответ: $x = 7, y = 1$.