Номер 1428, страница 415 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1428, страница 415.

Условие.

1428 1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 16, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 16, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2. \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно переменных $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$. Для её решения воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части первого и второго уравнений:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 16 + 2$
$2\sqrt{x} = 18$
Разделим обе части уравнения на 2:
$\sqrt{x} = 9$
Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат:
$x = 9^2 = 81$
Теперь подставим значение $\sqrt{x} = 9$ в первое уравнение исходной системы:
$9 + \sqrt{y} = 16$
Найдем $\sqrt{y}$:
$\sqrt{y} = 16 - 9$
$\sqrt{y} = 7$
Чтобы найти $y$, возведем обе части в квадрат:
$y = 7^2 = 49$
Проверим найденные значения:
$\sqrt{81} + \sqrt{49} = 9 + 7 = 16$
$\sqrt{81} - \sqrt{49} = 9 - 7 = 2$
Оба равенства верны.
Ответ: $x=81, y=49$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19. \end{cases} $
Как и в предыдущем случае, решим систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 19$
$2\sqrt{x} = 20$
Разделим обе части уравнения на 2:
$\sqrt{x} = 10$
Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 10^2 = 100$
Теперь подставим значение $\sqrt{x} = 10$ во второе уравнение исходной системы:
$10 + \sqrt{y} = 19$
Найдем $\sqrt{y}$:
$\sqrt{y} = 19 - 10$
$\sqrt{y} = 9$
Чтобы найти $y$, возведем обе части в квадрат:
$y = 9^2 = 81$
Проверим найденные значения:
$\sqrt{100} - \sqrt{81} = 10 - 9 = 1$
$\sqrt{100} + \sqrt{81} = 10 + 9 = 19$
Оба равенства верны.
Ответ: $x=100, y=81$.