Номер 1433, страница 415 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1433, страница 415.

Условие.

1433 Решить систему неравенств $ \begin{cases} \frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}, \\ \frac{x-2}{3} > 1 + \frac{x-5}{15}. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство в отдельности и найти пересечение множеств их решений.

Решим первое неравенство:

$\frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное. НОК(5, 4, 3, 2) = 60.

$60 \cdot \left(\frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4}\right) < 60 \cdot \left(\frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}\right)$

$12(x+1) - 15(x+2) < 20(x-3) + 30(x-4)$

Раскроем скобки:

$12x + 12 - 15x - 30 < 20x - 60 + 30x - 120$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$-3x - 18 < 50x - 180$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$180 - 18 < 50x + 3x$

$162 < 53x$

Разделим обе части на 53. Так как $53 > 0$, знак неравенства не изменится:

$x > \frac{162}{53}$

Решим второе неравенство:

$\frac{x-2}{3} > 1 + \frac{x-5}{15}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 15, которое равно 15:

$15 \cdot \frac{x-2}{3} > 15 \cdot \left(1 + \frac{x-5}{15}\right)$

$5(x-2) > 15 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{x-5}{15}$

$5x - 10 > 15 + (x-5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x - 10 > x + 10$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$5x - x > 10 + 10$

$4x > 20$

Разделим обе части на 4:

$x > 5$

Найдем решение системы:

Мы получили два неравенства, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x > \frac{162}{53} \\ x > 5 \end{cases}$

Сравним числа $\frac{162}{53}$ и $5$. Выделим целую часть из дроби $\frac{162}{53}$: $162 = 3 \cdot 53 + 3$, следовательно, $\frac{162}{53} = 3\frac{3}{53}$.

Так как $3\frac{3}{53} < 5$, то оба неравенства будут верны, если будет выполняться более сильное из них, то есть $x > 5$.

Таким образом, решением системы является интервал $(5; +\infty)$.

Ответ: $(5; +\infty)$