Номер 1439, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1439, страница 416.

Условие.

1439 Разность двух чисел относится к их произведению как $1 : 24$, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$. Для решения задачи составим систему уравнений на основе двух условий, данных в тексте.

1. "Разность двух чисел относится к их произведению как 1 : 24". Предположим, что $x > y$. Тогда это условие можно записать в виде уравнения:

$\frac{x - y}{xy} = \frac{1}{24}$

2. "Сумма этих чисел в 5 раз больше их разности". Это условие дает нам второе уравнение:

$x + y = 5(x - y)$

Теперь решим полученную систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения:

$x + y = 5x - 5y$

Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть, а с $x$ — в правую:

$y + 5y = 5x - x$

$6y = 4x$

Из этого соотношения можно выразить $x$ через $y$:

$x = \frac{6y}{4} = \frac{3}{2}y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение. Для удобства преобразуем первое уравнение, используя основное свойство пропорции (крест-накрест):

$24(x - y) = 1 \cdot xy$

$24(x - y) = xy$

Подставляем $x = \frac{3}{2}y$:

$24(\frac{3}{2}y - y) = (\frac{3}{2}y) \cdot y$

Упрощаем выражение в скобках:

$24(\frac{1}{2}y) = \frac{3}{2}y^2$

$12y = \frac{3}{2}y^2$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$\frac{3}{2}y^2 - 12y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(\frac{3}{2}y - 12) = 0$

Это уравнение имеет два возможных корня:

• $y = 0$. Этот корень не является решением задачи, так как если одно из чисел равно нулю, то их произведение также равно нулю, и деление на ноль в исходном соотношении $\frac{x-y}{xy}$ невозможно.
• $\frac{3}{2}y - 12 = 0$. Решаем это линейное уравнение:

$\frac{3}{2}y = 12$

$y = 12 \cdot \frac{2}{3}$

$y = 8$

Итак, мы нашли одно из чисел: $y = 8$. Теперь найдем второе число $x$, используя найденную ранее связь $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 4 = 12$

Искомые числа — 12 и 8. Проведем проверку.

Разность: $12 - 8 = 4$.

Произведение: $12 \cdot 8 = 96$.

Отношение разности к произведению: $\frac{4}{96} = \frac{1}{24}$. Первое условие выполняется.

Сумма: $12 + 8 = 20$.

Разность: $12 - 8 = 4$.

Проверяем, больше ли сумма разности в 5 раз: $20 = 5 \cdot 4$. Второе условие выполняется.

Ответ: 12 и 8.