Номер 1444, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1444, страница 417.

Условие.

1444 От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — это скорость плота. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки.

Скорость моторной лодки по течению, согласно условию, на 48 км/ч больше скорости плота. Таким образом, скорость лодки составляет $(x + 48)$ км/ч.

И плот, и моторная лодка отправились от одной и той же пристани и встретились, когда лодка прошла 17 км. Это означает, что к моменту встречи оба они проплыли одинаковое расстояние, равное 17 км.

Время, которое потребовалось плоту, чтобы преодолеть это расстояние, можно найти по формуле $t = S/v$:

$t_{плота} = \frac{17}{x}$ ч.

Аналогично, время, которое потребовалось моторной лодке, составляет:

$t_{лодки} = \frac{17}{x + 48}$ ч.

По условию задачи, моторная лодка отправилась в путь на 5 часов 20 минут позже плота. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 5 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{16}{3}$ ч.

Разница во времени движения плота и лодки составляет $\frac{16}{3}$ часа. На основе этого мы можем составить уравнение:

$t_{плота} - t_{лодки} = \frac{16}{3}$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{17}{x} - \frac{17}{x + 48} = \frac{16}{3}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 48)$:

$\frac{17(x + 48) - 17x}{x(x + 48)} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{17x + 816 - 17x}{x^2 + 48x} = \frac{16}{3}$

$\frac{816}{x^2 + 48x} = \frac{16}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$16(x^2 + 48x) = 816 \cdot 3$

$16(x^2 + 48x) = 2448$

Разделим обе части уравнения на 16:

$x^2 + 48x = \frac{2448}{16}$

$x^2 + 48x = 153$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 48x - 153 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-153) = 2304 + 612 = 2916$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{2916} = 54$.

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 + 54}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 - 54}{2 \cdot 1} = \frac{-102}{2} = -51$

Так как $x$ представляет собой скорость, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -51$ не является решением задачи.

Единственным подходящим решением является $x = 3$. Таким образом, скорость плота составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.