Номер 1445, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1445, страница 417.

Условие.

1445 При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по $210 \, \text{ц}$ пшеницы. Площадь первого участка была на $0,5 \, \text{га}$ меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай пшеницы на первом участке был на $1 \, \text{ц с } 1 \, \text{га}$ больше, чем на втором?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — урожайность пшеницы на втором участке в центнерах с гектара (ц/га). Тогда урожайность на первом участке, которая по условию на 1 ц/га больше, будет равна $(x+1)$ ц/га.

Общий урожай, собранный с каждого участка, составляет 210 центнеров. Зная урожайность, можно выразить площадь каждого участка. Площадь вычисляется как отношение общего урожая к урожайности с одного гектара.

Площадь второго участка: $S_2 = \frac{210}{x}$ га.

Площадь первого участка: $S_1 = \frac{210}{x+1}$ га.

По условию, площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго. Составим уравнение на основе этого условия:

$S_2 - S_1 = 0,5$

Подставим выражения для площадей в это уравнение:

$\frac{210}{x} - \frac{210}{x+1} = 0,5$

Теперь решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{210(x+1) - 210x}{x(x+1)} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{210x + 210 - 210x}{x^2 + x} = 0,5$

$\frac{210}{x^2 + x} = 0,5$

Это уравнение эквивалентно следующему (при условии, что $x^2 + x \neq 0$):

$x^2 + x = \frac{210}{0,5}$

$x^2 + x = 420$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 420 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1681}}{2} = \frac{-1 \pm 41}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как урожайность ($x$) не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только корень $x_1 = 20$.

Итак, урожайность на втором участке составляет 20 ц/га.

Урожайность на первом участке на 1 ц/га больше:

$x + 1 = 20 + 1 = 21$ ц/га.

Ответ: с первого участка собрано 21 центнер пшеницы с одного гектара, со второго участка — 20 центнеров пшеницы с одного гектара.