Номер 1447, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1447, страница 417.

Условие.

1447 Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим четыре последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3, b_4$. Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда члены прогрессии можно выразить через $b_1$ и $q$:

$b_1 = b_1$

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Согласно условию задачи, "третье число больше первого на 9". Запишем это в виде уравнения:

$b_3 = b_1 + 9$

Подставим выражение для $b_3$:

$b_1 q^2 = b_1 + 9$

Также, по условию, "второе больше четвёртого на 18". Запишем второе уравнение:

$b_2 = b_4 + 18$

Подставим выражения для $b_2$ и $b_4$:

$b_1 q = b_1 q^3 + 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$$ \begin{cases} b_1 q^2 = b_1 + 9 \\ b_1 q = b_1 q^3 + 18 \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения, чтобы выделить общий множитель с $b_1$:

Из первого уравнения:

$b_1 q^2 - b_1 = 9$

$b_1 (q^2 - 1) = 9$ (1)

Из второго уравнения:

$b_1 q - b_1 q^3 = 18$

$b_1 q(1 - q^2) = 18$ (2)

Заметим, что $q \neq 1$ и $q \neq -1$, так как иначе левая часть уравнения (1) равнялась бы нулю, а правая — нет. Также $q \neq 0$.

Выразим $b_1$ из уравнения (1):

$b_1 = \frac{9}{q^2 - 1}$

Подставим это выражение для $b_1$ в уравнение (2):

$\frac{9}{q^2 - 1} \cdot q(1 - q^2) = 18$

Так как $1 - q^2 = -(q^2 - 1)$, мы можем упростить левую часть:

$\frac{9}{q^2 - 1} \cdot q \cdot (-(q^2 - 1)) = 18$

Сократим $(q^2 - 1)$:

$9 \cdot q \cdot (-1) = 18$

$-9q = 18$

$q = \frac{18}{-9}$

$q = -2$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q$, найдем её первый член $b_1$, используя уравнение (1):

$b_1 = \frac{9}{q^2 - 1} = \frac{9}{(-2)^2 - 1} = \frac{9}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

Мы нашли первый член $b_1=3$ и знаменатель $q=-2$. Теперь можем найти все четыре числа:

$b_1 = 3$

$b_2 = b_1 q = 3 \cdot (-2) = -6$

$b_3 = b_1 q^2 = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

$b_4 = b_1 q^3 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24$

Проверим найденные числа. Третье число (12) больше первого (3) на 9: $12 = 3 + 9$. Верно. Второе число (-6) больше четвертого (-24) на 18: $-6 = -24 + 18$. Верно.

Ответ: искомые числа: 3, -6, 12, -24.