Номер 1441, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1441, страница 416.

Условие.

1441 Бригада рабочих должна была к определённому сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановая дневная норма производительности бригады (деталей в день), а $t$ — плановое количество дней для выполнения работы.

По условию, бригада должна была изготовить 360 деталей. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$x \cdot t = 360$

Бригада перевыполняла дневную норму на 9 деталей, то есть их фактическая производительность составляла $(x+9)$ деталей в день. За день до планового срока, то есть за $(t-1)$ дней, они не только выполнили план, но и перевыполнили его на 5%. Найдем, сколько деталей они изготовили:

$360 \cdot (1 + \frac{5}{100}) = 360 \cdot 1.05 = 378 \text{ деталей.}$

Теперь мы можем составить второе уравнение, связывающее фактическую производительность, фактическое время и фактический объем работы:

$(x+9) \cdot (t-1) = 378$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x \cdot t = 360 \\ (x+9)(t-1) = 378 \end{cases}$

Выразим $t$ из первого уравнения: $t = \frac{360}{x}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x+9)(\frac{360}{x} - 1) = 378$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x \cdot \frac{360}{x} - x \cdot 1 + 9 \cdot \frac{360}{x} - 9 \cdot 1 = 378$

$360 - x + \frac{3240}{x} - 9 = 378$

$351 - x + \frac{3240}{x} = 378$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду. Для начала вычтем 378 из обеих частей:

$-x - 27 + \frac{3240}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (поскольку $x$, производительность, не может быть равна нулю):

$-x^2 - 27x + 3240 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2 + 27x - 3240 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3240) = 729 + 12960 = 13689$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{13689} = 117$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-27 + 117}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-27 - 117}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как производительность не может быть отрицательной, плановая норма составляет $x = 45$ деталей в день.

Фактическая производительность бригады была на 9 деталей больше: $45 + 9 = 54$ детали в день.

Плановый срок выполнения работы: $t = \frac{360}{45} = 8$ дней.

Теперь ответим на вопрос задачи: "Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?". Это означает, что нужно найти, сколько деталей изготовит бригада за плановые 8 дней, работая с фактической производительностью 54 детали в день.

$54 \text{ деталей/день} \cdot 8 \text{ дней} = 432 \text{ детали.}$

Ответ: к сроку бригада изготовит 432 детали.