Номер 1443, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

5. Текстовые задачи. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа - номер 1443, страница 416.

Условие.

1443 Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 3000 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 30 р. меньше первой организации, уплатила за билеты 1800 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть первая организация купила $x$ билетов, а цена одного билета для нее составила $y$ рублей. Согласно условию, первая организация израсходовала 3000 рублей, что можно записать в виде уравнения:

$x \cdot y = 3000$

Отсюда можно выразить цену билета $y$ через количество $x$:

$y = \frac{3000}{x}$

Вторая организация купила на 5 билетов меньше, то есть $(x-5)$ билетов. Цена каждого билета для второй организации была на 30 рублей меньше, то есть $(y-30)$ рублей. Вторая организация уплатила за все билеты 1800 рублей. Составим второе уравнение:

$(x-5)(y-30) = 1800$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x-5)(\frac{3000}{x} - 30) = 1800$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{3000}{x} - 30x - 5 \cdot \frac{3000}{x} + 5 \cdot 30 = 1800$

$3000 - 30x - \frac{15000}{x} + 150 = 1800$

Упростим уравнение, собрав все числовые значения:

$3150 - 30x - \frac{15000}{x} = 1800$

Перенесем 1800 в левую часть:

$3150 - 1800 - 30x - \frac{15000}{x} = 0$

$1350 - 30x - \frac{15000}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (поскольку количество билетов $x$ не может быть равно нулю), чтобы избавиться от знаменателя:

$1350x - 30x^2 - 15000 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на -30 и запишем его в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 45x + 500 = 0$

Получили квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 45, а их произведение равно 500. Легко подобрать корни: $x_1 = 20$ и $x_2 = 25$.

Оба корня являются положительными числами и соответствуют физическому смыслу задачи (количество билетов не может быть отрицательным, количество билетов, купленных второй организацией $x-5$, и цена билета $y-30$ также должны быть положительны, что выполняется для обоих корней). Проверим оба варианта.

1. Если первая организация купила $x = 20$ билетов.
Тогда количество билетов для второй организации равно $20 - 5 = 15$.
Цена билета для первой организации: $y = \frac{3000}{20} = 150$ рублей.
Цена билета для второй организации: $150 - 30 = 120$ рублей.
Проверка общей стоимости для второй организации: $15 \cdot 120 = 1800$ рублей. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи.

2. Если первая организация купила $x = 25$ билетов.
Тогда количество билетов для второй организации равно $25 - 5 = 20$.
Цена билета для первой организации: $y = \frac{3000}{25} = 120$ рублей.
Цена билета для второй организации: $120 - 30 = 90$ рублей.
Проверка общей стоимости для второй организации: $20 \cdot 90 = 1800$ рублей. Этот вариант также удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: первая организация купила 20 билетов, а вторая — 15 билетов, либо первая организация купила 25 билетов, а вторая — 20 билетов.