Номер 1443, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1443 Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 3000 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 30 р. меньше первой организации, уплатила за билеты 1800 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?

Для решения задачи введем переменные. Пусть первая организация купила $x$ билетов, а цена одного билета для нее составила $y$ рублей. Согласно условию, первая организация израсходовала 3000 рублей, что можно записать в виде уравнения:

$x \cdot y = 3000$

Отсюда можно выразить цену билета $y$ через количество $x$:

$y = \frac{3000}{x}$

Вторая организация купила на 5 билетов меньше, то есть $(x-5)$ билетов. Цена каждого билета для второй организации была на 30 рублей меньше, то есть $(y-30)$ рублей. Вторая организация уплатила за все билеты 1800 рублей. Составим второе уравнение:

$(x-5)(y-30) = 1800$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x-5)(\frac{3000}{x} - 30) = 1800$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{3000}{x} - 30x - 5 \cdot \frac{3000}{x} + 5 \cdot 30 = 1800$

$3000 - 30x - \frac{15000}{x} + 150 = 1800$

Упростим уравнение, собрав все числовые значения:

$3150 - 30x - \frac{15000}{x} = 1800$

Перенесем 1800 в левую часть:

$3150 - 1800 - 30x - \frac{15000}{x} = 0$

$1350 - 30x - \frac{15000}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (поскольку количество билетов $x$ не может быть равно нулю), чтобы избавиться от знаменателя:

$1350x - 30x^2 - 15000 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на -30 и запишем его в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 45x + 500 = 0$

Получили квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 45, а их произведение равно 500. Легко подобрать корни: $x_1 = 20$ и $x_2 = 25$.

Оба корня являются положительными числами и соответствуют физическому смыслу задачи (количество билетов не может быть отрицательным, количество билетов, купленных второй организацией $x-5$, и цена билета $y-30$ также должны быть положительны, что выполняется для обоих корней). Проверим оба варианта.

1. Если первая организация купила $x = 20$ билетов.
Тогда количество билетов для второй организации равно $20 - 5 = 15$.
Цена билета для первой организации: $y = \frac{3000}{20} = 150$ рублей.
Цена билета для второй организации: $150 - 30 = 120$ рублей.
Проверка общей стоимости для второй организации: $15 \cdot 120 = 1800$ рублей. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи.

2. Если первая организация купила $x = 25$ билетов.
Тогда количество билетов для второй организации равно $25 - 5 = 20$.
Цена билета для первой организации: $y = \frac{3000}{25} = 120$ рублей.
Цена билета для второй организации: $120 - 30 = 90$ рублей.
Проверка общей стоимости для второй организации: $20 \cdot 90 = 1800$ рублей. Этот вариант также удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: первая организация купила 20 билетов, а вторая — 15 билетов, либо первая организация купила 25 билетов, а вторая — 20 билетов.